kärna och bild

Använd att det är en homomorfism! Vad betyder det att "vara en homomorfism"? Vilka egenskaper måste uppfyllas?

För en homomorfism gäller väl att $\varnothing \left(h_1\right)\varnothing \left(h_2\right)=\varnothing \left(h_1{h}_2\right)$  och att om $\varnothing :G\to H$ så gäller det att 

$$\begin{gathered} \varnothing \left(1_G\right)=1_H \\ \varnothing \left(a^{-1}\right)=\varnothing {\left(a\right)}^{-1} \\ \varnothing \left(a^k\right)=\varnothing {\left(a\right)}^k \end{gathered}$$

men jag vet inte riktigt hur jag ska använda detta till uppgiften jag har.

Tänk på att $\mathbb{Z}_{18}$ är cyklisk och att $1$ är en generator till $\mathbb{Z}_{18}$. Kan du använda det tillsammans med egenskaperna för en grupphomomorfi för att luska ut var olika element skickas av avbildningen?

När jag skriver ner cayleytabellen för grupperna får jag

$\begin{array}{ccccccc}{\mathrm{\mathbb{Z}}}_{18}& 1& 5& 7& 11& 13& 17\\ 1& 1& 5& 7& 11& 13& 17\\ 5& 5& 7& 17& 1& 11& 13\\ 7& 7& 17& 13& 5& 1& 11\\ 11& 11& 1& 5& 13& 17& 7\\ 13& 13& 11& 1& 17& 7& 5\\ 17& 17& 13& 11& 7& 5& 1\end{array}$ och $\begin{array}{ccccc}{\mathrm{\mathbb{Z}}}_{12}& 1& 5& 7& 11\\ 1& 1& 5& 7& 11\\ 5& 5& 1& 11& 7\\ 7& 7& 11& 1& 5\\ 11& 11& 7& 5& 1\end{array}$ 

så båda gruperna är då cykliska och vi ser att 1 är en generator till både ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_{18}$ och ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_{12}$

Kärnan är väl de element i gruppen ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_{18}$ som mappas till identitetselementet i ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_{12}$ och identitetselementet är väl 1? det jag inte förstår är just vad $\varnothing \left(1\right)=8$ ger för information.

Du vet att $\emptyset(1) = 8$. Vad blir då t.ex. $\emptyset(1^2) = \emptyset(2)$ (tänk på egenskaper hos homomorfier)? Detta kan du fortsätta för resten av elementen då $1$ är en generator till $\mathbb{Z}_{18}$

jag har problem med att förstå hur man ska göra här, vi fick informationen $\varnothing \left(1\right)=8$ men vi har ju ingen 8a i ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_{12}$ och vi ska väl avbilda element från ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_{18}$ till ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_{12}$ ? 

Jag ser nu efter att ha kollat på din multiplikationstabell noggrannare att du förväxlat vilka grupper $\mathbb{Z}_{18}$ och $\mathbb{Z}_{12}$ är. $\mathbb{Z}_{18}$ och $\mathbb{Z}_{12}$ är vanligtvis heltalen modulo 18 respektive 12 under addition.

Notation för multiplikativa grupper modulo $n$ brukar ha någon form av förtydligande för att särskiljas från additiva grupperna, några exempel finns på Wikipedia:

https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplicative_group_of_integers_modulo_n#Notation

edit: formattering

okej jag får då att för gruppen Z12 under addition har vi elementen som är relativt prima till 12 är 0,1,5,7,11 och får då $\begin{array}{cccccc}+& 0& 1& 5& 7& 11\\ 0& 0& 1& 5& 7& 11\\ 1& 1& 2& 6& 8& 0\\ 5& 5& 6& 10& 0& 4\\ 7& 7& 8& 0& 2& 6\\ 11& 11& 0& 4& 6& 10\end{array}$ så det enda elementet som genererar gruppen är identitetselementet noll. 

och gör jag sedan samma sak med Z18 får jag

$\begin{array}{cccccccc}+& 0& 1& 5& 7& 11& 13& 17\\ 0& 0& 1& 5& 7& 11& 13& 17\\ 1& 1& 2& 6& 8& 12& 14& 0\\ 5& 5& 6& 10& 12& 16& 0& 4\\ 7& 7& 8& 12& 14& 0& 2& 6\\ 11& 11& 12& 16& 0& 4& 6& 10\\ 13& 13& 14& 0& 2& 6& 8& 12\\ 17& 17& 0& 4& 6& 10& 12& 16\end{array}$

Gruppen $Z_{12}$ innehåller alla tal från 0 till 11, och har gruppoperation addition modulo 12. På samma sätt har $Z_{18}$ alla tal från 0 till 17 med gruppoperation addition modulo 18. Det är bara när man vill ha gruppoperationen som multiplikation modulo n som man behöver begränsa sig till tal som är relativt prima n.

$1$ är en generator till båda dessa grupper då man kan få alla element i gruppen genom att addera 1 till sig själv tillräckligt många gånger.

Det du vill göra nu är inte att beräkna Cayleytabeller för grupperna var för sig, utan du vill ju undersöka hur $\emptyset$ avbildar elementen från den ena gruppen till den andra, eller hur? Så börja med att du vet att $\emptyset(1) = 8$. Använder du dig av att $\emptyset(a^k) = \emptyset(a)^k$, då $\emptyset$ är en homomorfi, så kan du beräkna vad $\emptyset(1^2) = \emptyset(2)$ avbildas på för element i $\mathbb{Z}_{12}$. Detta kan du fortsätta för alla element i $\mathbb{Z}_{18}$ och då kommer du veta hur $\emptyset$ avbildar alla element i $\mathbb{Z}_{18}$.

om vi ska använda oss av att $\varnothing \left(a^k\right)=\varnothing {\left(a\right)}^k$ och vi har informationen $\varnothing \left(1\right)=8$ så vet vi väl att ettan i Z18 mappas mot 8an i Z12 och har vi alltså då $\varnothing \left(1^1\right)=\varnothing {\left(8\right)}^1$ och i nästa steg ska ha exponenten 2 istället för 1? och adderar $\varnothing \left(1+1\right)=\varnothing \left(2\right)$ som mappas mot $\varnothing {\left(1\right)}^2$ ? 

Ursäkta om jag har fel (ignorera i så fall detta), men borde det inte vara så att (eftersom det är en homomorfism): $\varphi \left(2\right)=\varphi (1+1)=\varphi \left(1\right)+\varphi \left(1\right)=8+8=4$ ? Sedan fortsätter man så tills man kommit fram till 0 (dvs $\varphi \left(3\right)$)?

EDIT: Läste fel, trodde värdemängden låg i ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_{18}$

Ja precis, det ser rätt ut. Sen när man har räknat ut var alla element avbildas så kan man avläsa direkt vad kärnan och bilden blir.

då får jag $\varnothing \left(2\right)=\varnothing \left(1+1\right)=\varnothing \left(1\right)+\varnothing \left(1\right)=8+8{\equiv }_{12}4$ så 2 mappas till 4 men när jag sedan gör samma sak med $\varnothing \left(4\right)$ får jag återigen 8 så både $\varnothing \left(1\right)$ och $\varnothing \left(4\right)$ mappas till 8 i Z12

Ja, men nu har du ju inte beräknat $\varphi \left(3\right)=\varphi (1+1+1)=...$ Varför gick du direkt på $\varphi \left(4\right)?$

 $\varnothing \left(3\right)$ fick jag att den mappades till 0 i Z12, och eftersom 0 är identitetselementet i Z12 får vi då att ker$\varnothing$=3 ?

Jag skulle nog räkna ut var alla element i $Z_{18}$ (borde inte vara alltför jobbigt) mappas om du känner dig osäker. Efter det kan du direkt avläsa kärnan och bilden.

Notera också att $(3)$ inte är samma sak som $3$.

jag ser att mönstret 8,4,0 upprepar sig 1 mapps mot 8 sedan 2 mot 4 och 3 mot 0 och sedan upprepar det sig. Så får vi alltså $ker\varnothing =\left\{3\right\}$ eftersom vi bara får tre olika element i Z12 som elementen i domänen mappas till?