Kedjeregeln bevis

https://mathleaks.se/utbildning/kb/bevis/kedjeregeln?srsltid=AfmBOoqIBWYP9eTMjtjMZ2hbhpnra6MwTDDCYLPyAxsppINPeJ-e6OtJ

Detta är ganska snällt. 

Tack, men jag förstår ändå inte. Ni är rockstjärnor som förstår vad som händer i alla steg. Det känns för mig som att okej, vi vet redan att den här formeln gäller, nu lägger vi till och skriver om det här på alla sätt som krävs för att få det här att se ut som formeln, så är det bevisat. Liksom, okej. Men hur kommer jag fram till att det faktiskt är så om formeln inte existerade och att det faktiskt är korrekt..

Sen skriver de längre ned att vänstra delen av bråket nästan ser ut som derivatans definition, fast jag tycker det ser exakt ut som det. Sedan lägger man dit ett +k och konstaterar att nu ser det minsann rätt ut till skillnad från innan.. okej. Vad är det som är så mycket bättre nu.

Vet inte vad jag ska göra för att begripa det. Försöker allt men det går bara inte.Jag fattar inte varför bakom stegen som utförs, man bara gör någonting från intet... ja, från mitt perspektiv vill säga.

Nu ska jag läsa en bok istället. Det är något jag förstår mig på.

Jag brukar se den inre derivatan som en utväxling.

Vi har två funktioner f och g. Jag skriver inte f(x) och g(x), för själva funktionerna är ju desamma oavsett om vi skriver f eller f(x) eller f(s) eller f(t). Så småningom ska vi titta på f(g(x)), men vi håller oss till f(t) ett tag.

d/dt av f(t) är derivatan av f med avseende på t, alltså svaret på frågan "Hur mycket ändras f när vi ändrar t lite?" (Läs den meningen tills den är helt självklar)

Det är samma fråga som "Hur mycket ändras f(s) när vi ändrar s lite?" Känns det också självklart?

Det et är samma fråga som "Hur mycket ändras f(g(x)) när vi ändrar g(x) lite?" Känns det också självklart? Då är vi nästan framme. Man brukar inte prata om derivatan av f med avseende på g(x), men jag tycker att det underlättar. 

Den ursprungliga frågan är ju hur mycket f(g(x)) ändras när x ändras, men hur stor är den där ändringen av g(x)? Jo, den är ju g'(x) när vi ändrar x lite.

Exempel: a(x)=sin(sqrt(x)).

Vi vet att a(t) ökar med cos(t) när vi ökar t lite. 

Vi vet att a(x) ökar med cos(sqrt(x)) när vi ökar sqrt(x) lite,  men det var ju inte frågan. 

När vi ökar x lite, ökar sqrt(x) med 1/(2sqrtx))

Så om x är 10000 och vi ökar med 1, kommer sqrt(x) bara att öka med 1/200, dvs med 0.005

Den derivata vi söker blir inte cos (1000) eftersom sqrt(x) inte har ökat mycket.  

Tjena Bubo,

Jo. Jag förstår kedjeregeln och konceptet bakom. Det känns ganska simpelt. Men bevisen för regeln är knepigare att hänga med på.

Om man inte hade regeln och skulle upptäcka den första gången, och utgå ifrån derivatans definition, hur resonerar man sig fram till att genomföra beviset som i länken där? Hur vet man att slutresultatet ska vara df/du × dg/dx, och att det är korrekt?

Eller är det mer att man direkt förstår att derivatan av f(g(x)) måste vara df/du * dg/dx per definition, utan att egentligen bevisa någonting, och sedan startar man med derivatans definition och arbetar sig fram till ovan uttryck utan att bryta några matematiska regler. 

Beviset kan göras lite mer kompakt. Utan att göra det för rigoröst kan vi tänka: 

Förutsättningar: 

- g är deriverbar i a

- f är deriverbar i g(a)

Dessa förutsättningar innebär alltså att gränsvärdena som är dess derivator existerar. 

Sats: 

$D[f(g(x))]_{x=a} =f'(g(a))(g'(a))$

Bevis: 

Fall 1: Om g(x)-g(a)=0 så är g(x) konstant och g'(x)=0, vilket innebär att satsen gäller. 

$\displaystyle\lim_{x \to a}\frac{f(g(x))-f(g(a))}{x-a}=\lim_{x \to a}\frac{f(g(a))-f(g(a))}{x-a}=0=f'\left(g\left(a\right)\right) \cdot g'\left(a\right)$

Fall 2: Om g(x)-g(a)≠0 så kan vi skriva ut definitionen och förlänga med $g(x)-g(a)$, vilket är tricket i detta bevis: 

$\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{f(g(x))-f(g(a))}{x-a}= \lim_{x \to a}\frac{f(g(x))-f(g(a))}{g(x)-g(a)}\cdot \frac{g(x)-g(a)}{x-a}= f'\left(g\left(a\right)\right) \cdot g'\left(a\right)$

där vi i sista likheten använder våra förutsättningar att dessa gränsvärden existerar. Och satsen är visad. 

Tack, men varför förlänger vi med g(x) - g(a),

Är det för att kunna få till ett uttryck för derivatan för båda funktioner? Som när man härleder produktregeln ungefär, då introducerar man något liknande bara för att få till definitionen för båda funktioner. Och om man väljer att inte förlänga, då har vi endast ett uttryck för derivatan av yttre funktionen, men det blir då inte med avseende på X, vilket är hela grejen. Typ?

Ja precis. Från derivatans definition har vi att (förutsatt att funktionerna är deriverbara osv)

$\displaystyle \lim_{x\to a} \frac{g(x)-g(a)}{x-a}=g^\prime\left(a\right)$

$\displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f(g(x))-f(g(a))}{g(x)-g(a)}=f^\prime\left(g(a)\right)$

Förlängningen med $g(x)-g(a)$ introducerar dessa två faktorer som vi känner till värdet på!

Ett annat sätt att övertyga sig själv om kedjeregeln, om man inte kräver fullständig rigör, är följande. Låt $f$ vara en deriverbar funktion som definieras av $y=f\left(g\left(x\right)\right)$. I så fall vet vi att för en mycket liten förändring $\delta g$ i $g$, kommer $y$ förändras ungefär med

$\displaystyle \delta y \approx \frac{df}{dg}\delta g$

Om vi delar båda sidor med den förändring i $x$, $\delta x$, som ger förändringen $\delta g$, får vi i princip kedjeregeln

$\displaystyle \frac{\delta y}{\delta x}\approx\frac{df}{dg}\frac{\delta g}{\delta x}$

Eftersom $g$ antas vara kontinuerlig (den är ju deriverbar!) måste $\delta x$ vara mycket litet om $\delta g$ är tillräckligt litet. Detsamma gäller för $\delta y$. Detta innebär alltså att vi i gränslandet då $\delta x \to 0$ får kedjeregeln:

$\displaystyle \frac{d y}{dx} = \lim_{\delta x \to 0} \frac{\delta y}{\delta x}=\frac{df}{dg}\lim_{\delta x \to 0} \frac{\delta g}{\delta x} =\frac{d f}{dg}\frac{d g}{dx}$

Anledningen till att vi kunde flytta ut derivatan $df/dg$ ur gränsvärdet i HL är för att det bara är ett tal i detta fall; den är utvärderad i punkten från vilken vi gjorde den ursprungliga förändringen $\delta g$.