Kluring - Vad är störst?

Vi får nog definiera verktygsväskan först. Analys 1?

(Såg först nu den underbara LaTeX-kodningen där de lyckats skriva all text i Math Mode men på något sätt fått in \arg :) )

Om man får använda att (1-1/n)ⁿ har gränsvärdet e^-1  så.....

hansa skrev:

Om man får använda att (1-1/n)ⁿ har gränsvärdet e^-1  så.....

Det låter mer rimligt för gymnasiet än Analys 1.

Det är fredag, så alternativ lösning utan miniräknare.

${60}^{60}={10}^{60\log \left(60\right)}$

L-skalan ger: $\log \left(60\right)\approx 1,778$

D-skalan ger: $60\times 1,778\approx 106,75$

Alltså är 60⁶⁰ ett tal med $⌊106,75⌋+1=107$ siffror.

På samma sätt kan vi konstatera att 59⁶¹ är ett tal med 109 siffror.

Således (och med marginal för felavläsning): ${\mathbf{59}}^{\mathbf{61}}\mathbf{>}{\mathbf{60}}^{\mathbf{60}}$

Vi kan definiera f(x) = (60 - x)^60+x. Då är f(0) = 60⁶⁰ och f(1) = 59⁶¹.

Jag hävdar att f(x) är strikt växande i intervallet [0, 1].

Vi tittar på derivatan.

$f\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)\frac{d\ln f\left(x\right)}{dx}$.

Eftersom f(x) är positivt i intervallet så bestäms derivatans tecken av derivatan av logaritmen.

$\frac{d\ln f\left(x\right)}{dx}=\ln \left(60-x\right)-\frac{60+x}{60-x}$. Denna derivata är avtagande på intervallet. Dess minsta värde uppkommer därför när x = 1.

ln59 - 61/59 > ln27 - 2 > ln(e³) - 2 = 3 - 2 = 1. Så derivatan av logaritmen är positiv på intervallet.

Positiv derivata medför att f(x) är strikt växande på intervallet [0, 1]. Således är f(0) < f(1).

Mycket snyggt i #8!

Kan genomföras med gymnasiekunskaper.

För $x>-1$ och $n>0$ gäller enligt gymnasiekursen (?) att

$(1+x)^n\leq e^{nx}$

Med likhet omm $x=0$. Med detta i bakfickan kan vi nu visa att

$60^{60}=(59+1)^{60}=(59(1+\frac{1}{59}))^{60}<59^{60}e^{\frac{60}{59}}$

Där vi utnyttjade vår kända olikhet med $x=\frac{1}{59}$ och $n=60$. Talet $e^{\frac{60}{59}}$ är nästan $e^1 \approx 2.7$ och absolut inte större än talet $3$.

Alltså gäller

$60^{60}<3\cdot 59^{60}<59\cdot 59^{60}$