Kluring - Vilket tal är störst? (Matematik/Allmänna diskussioner)

Den är trevlig. Jag kan tänka mig två olika lösningar.

Visa spoiler

Betrakta funktionen $f\left(x\right)=x^{1/x}.$ Derivering ger att $f^\prime(x) = x^{1/x}(1-\log x)/x^2.$
Vi ser att $f$ är växande på $(0,e)$ och (strängt) avtagande på $(e,\infty)$ . Därmed är $f(e)$ globalt maximum. Speciellt gäller det att $f(e) > f(\pi)$ , dvs $e^{1/e} > \pi^{1/\pi}$ . Upphöjning av båda led med $e\pi$ (vilket inte ändrar olikheten då funktionen $x^{e\pi}$ är strängt växande) ger att $e^\pi > \pi^e$

@AlexMu, snyggt! Jag tänkte mig något liknande men jag fick inte ihop det.

Visa spoiler

Eller studera

eller Taylor.

Nu har vi tre sätt.

Uppgiften förekommer i en version i Månsson Analys 1. Det verkar vara ett "populärt" problem.

Ett problem vars lösning använder samma metoder är detta:

2⁴ = 4² är ett exempel på x^y = y^x för positiva heltal x och y som är olika. Finns det fler?

Laguna skrev:
Ett problem vars lösning använder samma metoder är detta:

2⁴ = 4² är ett exempel på x^y = y^x för positiva heltal x och y som är olika. Finns det fler?

Visa spoiler

Det gör det!

Att $x^y = y^x$ är ekvivalent med $x^{1/x} = x^{1/y}$ (antag $x,y>0$ så att vi inte får problem med komplexa tal), dvs $f(x)=f(y)$ från $f$ i #3. Vidare visade #3 att $f$ är växande på $(0,e]$ och avtagande på $[e,\infty)$ .

Eftersom $\lim_{x\to \infty} f\left(x\right) = \lim_{x\to \infty}e^{\frac{\log x}x} = e^0 = 1$ ser vi att funktionen avtar från $e^{1/e}$ ned till $1$ på intervallet $[e,\infty)$ . Kontinuitet ger att funktionen antar varje värde mellan $1$ och $e^{1/e}$ på detta intervall (lite handviftande, och "mellan" betyder icke inklusive).

Eftersom $f$ är växande på $[1,e]$ och $f(1) = 1$ får vi att $f$ också antar varje värde mellan $1$ och $e^{1/e}$ på intervallet $(1,e)$ .

Därmed, för varje $1<\alpha<e^{1/e}$ finns ett $1<x<e$ och $y>e$ så att $f(x)=\alpha = f(y)$ , det finns alltså oändligt många lösningar till $x^y = y^x$ (för $x\neq y$ ).

AlexMu skrev:
Laguna skrev:
Ett problem vars lösning använder samma metoder är detta:

2⁴ = 4² är ett exempel på x^y = y^x för positiva heltal x och y som är olika. Finns det fler?

Visa spoiler

Det gör det!

Att $x^y = y^x$ är ekvivalent med $x^{1/x} = x^{1/y}$ (antag $x,y>0$ så att vi inte får problem med komplexa tal), dvs $f(x)=f(y)$ från $f$ i #3. Vidare visade #3 att $f$ är växande på $(0,e]$ och avtagande på $[e,\infty)$ .

Eftersom $\lim_{x\to \infty} f\left(x\right) = \lim_{x\to \infty}e^{\frac{\log x}x} = e^0 = 1$ ser vi att funktionen avtar från $e^{1/e}$ ned till $1$ på intervallet $[e,\infty)$ . Kontinuitet ger att funktionen antar varje värde mellan $1$ och $e^{1/e}$ på detta intervall (lite handviftande, och "mellan" betyder icke inklusive).

Eftersom $f$ är växande på $[1,e]$ och $f(1) = 1$ får vi att $f$ också antar varje värde mellan $1$ och $e^{1/e}$ på intervallet $(1,e)$ .

Därmed, för varje $1<\alpha<e^{1/e}$ finns ett $1<x<e$ och $y>e$ så att $f(x)=\alpha = f(y)$ , det finns alltså oändligt många lösningar till $x^y = y^x$ (för $x\neq y$ ).

Nej det finns inte fler. Grafen maxar för x=e. Till v. ligger 0 och 1 och inga andra lösningar för x>e finns för dessa x.

Trinity2 skrev:
AlexMu skrev:
Laguna skrev:
Ett problem vars lösning använder samma metoder är detta:

2⁴ = 4² är ett exempel på x^y = y^x för positiva heltal x och y som är olika. Finns det fler?

Visa spoiler

Det gör det!

Att $x^y = y^x$ är ekvivalent med $x^{1/x} = x^{1/y}$ (antag $x,y>0$ så att vi inte får problem med komplexa tal), dvs $f(x)=f(y)$ från $f$ i #3. Vidare visade #3 att $f$ är växande på $(0,e]$ och avtagande på $[e,\infty)$ .

Eftersom $\lim_{x\to \infty} f\left(x\right) = \lim_{x\to \infty}e^{\frac{\log x}x} = e^0 = 1$ ser vi att funktionen avtar från $e^{1/e}$ ned till $1$ på intervallet $[e,\infty)$ . Kontinuitet ger att funktionen antar varje värde mellan $1$ och $e^{1/e}$ på detta intervall (lite handviftande, och "mellan" betyder icke inklusive).

Eftersom $f$ är växande på $[1,e]$ och $f(1) = 1$ får vi att $f$ också antar varje värde mellan $1$ och $e^{1/e}$ på intervallet $(1,e)$ .

Därmed, för varje $1<\alpha<e^{1/e}$ finns ett $1<x<e$ och $y>e$ så att $f(x)=\alpha = f(y)$ , det finns alltså oändligt många lösningar till $x^y = y^x$ (för $x\neq y$ ).

Nej det finns inte fler. Grafen maxar för x=e. Till v. ligger 0 och 1 och inga andra lösningar för x>e finns för dessa x.

Jag missade ordet ”heltal”. Hur som helst räcker det med en liten justering till det jag skrev då bara ett heltal finns i intervallet $(1,e)$ , vilket korresponderar med $2^4=4^2$ .