Kombinatorik
"In how many ways can the word 'holiday' be arranged such that the letter "i" will always come to the left of the letter "L?"
Efter 7! fastnar jag. Om jag letar efter de sätt där "i" står till vänster om "L", vad ska jag göra?
Tänk så här: på hur många sätt kan du flytta runt bokstavsenheten li i ett ord med sju bokstäver? Här är två exempel:
#2 är ett bra sätt.
Ett annat sätt är att tänka att du har 6 byggklossar, H, O, IL, D, A och Y.
Hur många 'ord' kan du skapa av dessa?
Eller, kanske jag tolkade texten fel, och det skall inte vara _direkt_ vänster om L. Då blir problemet ett annat.
Jag tolkar uppgiften som du, att i måste stå direkt till vänster om l.
naytte skrev:Tänk så här: på hur många sätt kan du flytta runt bokstavsenheten li i ett ord med sju bokstäver? Här är två exempel:
Jag är fortfarande förvirrad. Utan kravet på att i står till vänster om L så kan jag arrangera bokstäverna 7! gånger. Utan L och i arrangeras det 5! gånger.
Jag kommer inte på vad det är som jag missar för att veta hur många sätt li flyttas runt på. Jag ser i alla fall att det verkar vara 7 positioner i exemplen. Jag antar att jag kan göra något som 7x6, eftersom att om jag placerar i eller L någonstans finns det 6 platser kvar för i eller L.
Jag tror att du gör det hela mer komplicerat än vad det behöver vara. Vi kan räkna antalet sätt du kan fylla ut sju positioner med "il" på fingrarna. Det finns sex sådana sätt. Antingen så är i på plats 1 och l på plats 2, eller så är i på plats 2 och l på plats 3, etc.
I alla sådana fall har du bara H, O, D, A och Y kvar att fördela. Tag en fixerad position av il. Då kan du skapa 5! ord (det finns 5! sätt att blanda H, O, D, A och Y). För alla sex sätt du kan placera il finns det 5! unika ord, så det finns sammanlagt 6*5!=6! unika ord.
Detta är vad man får av Trinitys förslag också.
naytte skrev:Jag tror att du gör det hela mer komplicerat än vad det behöver vara. Vi kan räkna antalet sätt du kan fylla ut sju positioner med "il" på fingrarna. Det finns sex sådana sätt. Antingen så är i på plats 1 och l på plats 2, eller så är i på plats 2 och l på plats 3, etc.
I alla sådana fall har du bara H, O, D, A och Y kvar att fördela. Tag en fixerad position av il. Då kan du skapa 5! ord (det finns 5! sätt att blanda H, O, D, A och Y). För alla sex sätt du kan placera il finns det 5! unika ord, så det finns sammanlagt 6*5!=6! unika ord.
Detta är vad man får av Trinitys förslag också.
Svaret ska vara 7!/2
Jag förstår inte riktigt 2:an.
Okej, då är det som Trinity nämnde i sin edit: uppgiftsmakaren menade inte att l måste vara direkt till höger om i, utan det måste bara vara till höger.
Välj en plats för i, t.ex. plats 1. Då finns det sex platser som l kan vara på. För varje sådan plats finns det 5! ord, alltså finns det 6*5!=6! tillåtna ord som börjar på i.
Anta nu att i är på plats 2. Då finns det fem platser som l kan vara på, och för varje sådan plats finns det 5! ord, alltså finns det 5*5! tillåtna ord med i som andra bokstav.
Anta nu att i är på plats 3. Då finns det fyra platser som l kan vara på, och för varje sådan plats finns det 5! ord, alltså finns det 4*5! tillåtna ord med i som tredje bokstav.
...
Det finns då alltså 6*5!+5*5!+4*5!+3*5!+2*5!+5! = (6+5+4+3+2+1)*5!=21*5!=7!/2 tillåtna ord.
Tillägg: 2 sep 2026 22:41
Att uppgiftsmakaren svarar med 7!/2 får mig att tro att han resonerade på något annat sätt. Men svaret är rätt i alla fall.
naytte skrev:Okej, då är det som Trinity nämnde i sin edit: uppgiftsmakaren menade inte att l måste vara direkt till höger om i, utan det måste bara vara till höger.
Välj en plats för i, t.ex. plats 1. Då finns det sex platser som l kan vara på. För varje sådan plats finns det 5! ord, alltså finns det 6*5!=6! tillåtna ord som börjar på i.
Anta nu att i är på plats 2. Då finns det fem platser som l kan vara på, och för varje sådan plats finns det 5! ord, alltså finns det 5*5! tillåtna ord med i som andra bokstav.
Anta nu att i är på plats 3. Då finns det fyra platser som l kan vara på, och för varje sådan plats finns det 5! ord, alltså finns det 4*5! tillåtna ord med i som tredje bokstav.
...
Det finns då alltså 6*5!+5*5!+4*5!+3*5!+2*5!+5! = (6+5+4+3+2+1)*5!=21*5!=7!/2 tillåtna ord.
Tillägg: 2 sep 2026 22:41
Att uppgiftsmakaren svarar med 7!/2 får mig att tro att han resonerade på något annat sätt. Men svaret är rätt i alla fall.
Ja, han resonerar sig fram till att hälften av alla 7! ord är otillåtna. Hur vet jag ej.
Jag får tänka lite till på detta.
Det viktiga är att jag förstod ditt näst senaste svar, tack!
Ingen orsak! :D
De 7! permutationerna uppträder parvis: för varje permutation får man det andra i paret genom att byta plats på i och l.
Ah, clever!
