Komplementhändelse

Komplementhändelsen till "olika färg" är "ej olika färg" dvs. "lika färg". Hur stor är sannolikheten att du drar upp två gröna, eller två röda eller två gula kulor? 

Ja men jag förstår inte hur man räknar ut det.

Börja med sannolikheten att du tar upp två gröna kulor. Hur stor är sannolikheten för att den första kulan är grön? Om du fått upp en grön kula, hur stor är sannolikheten att nästa kula också är grön?

Jag räknade ut såhär men det var fel:

P (gul &grön+ röd&gul +röd&grön +grön&gul+ grön&röd +gul&röd) = 4/20*3/20 + 13/20*4/20 + 13/20*3/20 + 3/20*4/20 + 3/20*13/20 + 4/20*13/20

12/400 + 52/400 + 39/400 + 12/400 + 39/400 + 52/400 = 206/400 = 0,515 = 51,5 %

Svar: Det är 51,5 % chans att få två olika färger.

Eftersom det inte står att vi lägger tillbaka kulorna får vi anta att "plockar upp två utan att titta" utesluter tillbakaläggning. Du har då glömt att ta hänsyn till att det försvinner en boll från det totala antalet varje gång du plockar upp en ny kula. Jag föreslår att du använder komplementhändelser, och beräknar det hela som $\mathrm{P}(\mathrm{olika} \mathrm{färg})=1-\mathrm{P}(\mathrm{samma} \mathrm{färg})$. Då behöver du endast beräkna tre sannolikheter. Vi börjar med P(två gröna):

Vid första dragningen finns det tre gröna kulor, av totalt tjugo kulor. Det ger $\mathrm{P}(\mathrm{första} \mathrm{grön})=\frac{3}{20}$. Vid andra dragningen har vi tagit bort en grön kula ur väskan. Det finns då två gröna kulor kvar, och totalt 19 kulor. Det ger $\mathrm{P}(\mathrm{andra} \mathrm{kulan} \mathrm{är} \mathrm{grön}, \mathrm{givet} \mathrm{att} \mathrm{den} \mathrm{första} \mathrm{är} \mathrm{grön})=\frac{2}{19}$. Den totala sannolikheten blir då $\mathrm{P}(\mathrm{två} \mathrm{gröna} \mathrm{kulor})=\frac{3}{20}·\frac{2}{19}$.

Gör nu samma beräkning för P(två röda kulor) samt P(två gula kulor). Om du summerar dessa sannolikheter får du P(samma färg). :)

Standardfråga 1a: Har du ritat? Ett träddiagram, i det här fallet.

Ja jag ritade ett men det blev tyvärr också fel. :)

Ok tack men hur får jag sannolikhet för olika färg?

Tar jag då 4/20*13/20*3/20?

Lägg in en bild av ditt träddiagram, så att vi kan se om det är riktigt eller inte.

Men det skulle då stå 19 i andra ledet då kanske?

När du drar den andra kulan, finns det bara 19 kulor att välja mellan. Är det detta du tänker på i ditt senaste inlägg?

Ja precis är det rätt?

4/20*13/19*3/19?

Du måste ändra alla i sista ledet till 19:ondelar ja och det är ju också så att om det valts en grön i första så finns det en färre grön, så täljarna påverkas i vissa fall också.

Sen måste du titta på vilken/vilka av dina "tvåsträckiga vägar/grenar" som leder till lika färger. 

Du har ex P(grön,grön)= 3/20 *2/19 Vilka fler finns det som leder till två lika färger?

Dessa sannolikheter behöver du addera ihop eftersom alla dessa fall summerar upp till sannolikheten för lika färg

Stort tack nu förstår jag äntligen. :)

Såhär 3/20 *2/19+4/20*3/19+13/20+12/19? 

Men hur får jag sannolikheten för olika färg? Fungerar det på samma sätt eller är det fler sannolikheter som ska plussas ihop?

Maria skrev:

Såhär 3/20 *2/19+4/20*3/19+13/20+12/19? 

Ja, du menar rätt. Det blev ett plus där det skulle vara gånger.

3/20 *2/19 är sannolikhet för två gröna

4/20*3/19 är sannolikhet för två gula

13/20*12/19 är sannolikhet för två röda

Summan av det där är sannolikheten för "två lika"

Men hur får jag sannolikheten för olika färg?

 När du vet sannolikheten för "två lika" går det att räkna ut sannolikheten för "INTE två lika".

Det är just det som är komplementhändelsen.

Så här ?
3/20 * 4/19 + 3/20*13/19 +  4/20*3/19 + 4/20*13/19 + 13/20*3/19 + 13/20*4/19

då får jag 206/380 vilket är 54.2% chans att de kulorna har olika färg

Nej, inte alls. Jag förstår inte hur du har gjort.

Det som KAN hända när man drar två kulor är att man får

• Två gröna
• Två gula
• Två röda
• "Något annat"

Något av dessa fyra fall måste hända. Du vet sannolikheten för de första tre fallen, och man frågar efter sannolikheten för det fjärde fallet.

Vad betyder de olika termerna?

Meningen är att du skall beräkna sannolikheten att få 2 gula kulor + sannolikheten att få 2 gröna kulor + sannolikheten att få 2 röda kulor, d v s sannolikheten att få två lika färger. Sedan beräknar du 1-denna sannolikhet för att få fram sannolikheten att kulorna har olika färg - då slipper du beräkna så många sannolikheter.

Om jag tar alla möliiga scenarion, 100% - 2 gröna, 2 gula och 2 röda så får jag väl bara kvar om kulorna blir olika färger? Jag adderade bråken av 2 gröna eller 2 röda eller 2 gula och fick 174/380 = ungefär 45% chans att få lika kulor. Betyder det att alla andra kast, de du Bubo benämde som "något annat" alltså olika färger är 55%?

Det stämmer bra, förutom att $147/380=0.4578...\approx 0.46=46$, och inte $45$

Du kan räkna ut sannolikheten för gul+grön, gul+röd, grön+gul, grön+röd, röd+grön och röd+gul och addera dem (så som du har gjort) - då behöver du beräkna 6 multiplikationer och göra en addition av 6 termer.

Alternativt kan du beräkna sannolikheten för grön+grön, gul+gul och röd+röd, addera dem och subtrahera summan från 1.

Vilket sätt är enklast?