Komplex analys - använda Z-transform för att lösa differensekvation

Hej!

Jag håller på att lära mig om Z-transformen för att lösa differensekvationer. Nedan följer en exempeluppgift som jag sitter med:

Här tänker jag att man kan se hela VL och HL som varsin följd med $k\ge 0$ , så om vi tillämpar Z-transformen på båda led får vi:

$\displaystyle \mathcal{Z}\left( \{ a_{k+1}-a_k \}_{k=0}^{\infty}\right)=\mathcal{Z}(\{ 2 \}_{k=0}^\infty)$

Kalla $A(z):=\mathcal{Z}( \{a_k \}_{k=0}^{\infty})$ . I så fall får vi efter förenkling att

$\displaystyle zA\left(z\right)-za_0-A\left(z\right)=2\sum_{k\ge 0}z^{-k}$

Nu kommer min första fråga. Jag känner igen att HL är en geometrisk summa som endast konvergerar då $|z|>1$ . Vet vi någonting om $z$ som låter oss göra den omskrivningen? Jag vet inte mycket mer om Z-transformen än definitionen.

Låt säga att vi sedan tillåter oss själva att skriva om serien som en sluten formel och stoppar in $a_0=0$ . Då får vi:

$\displaystyle A\left(z\right)=\frac{2z}{(z-1)^2}$

Nu skulle det ju passa bra att inverstransformera. Men jag vet inte riktigt hur det fungerar. Jag hittar följande formel online

$\displaystyle \left\{ a_k \right\}_{k=0}^\infty=\mathcal{Z}^{-1}\left(A\left(z\right)\right)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}\frac{2z}{(z-1)^2}z^{k-1}dz$

Där $C$ är någon speciell kurva. Jag är ganska lost på detta. Dokumentet som det står att vi ska läsa i på Canvas ligger inte på Canvas längre så... ja det är lite problematiskt det här. Jag skulle behöva hjälp med denna uppgift, men mina konkreta frågor är också:

Vad ställer vi för krav på $z$ i transformen? Kan det vara vilket komplext tal som helst?
Vad ställer vi för krav på kurvan $C$ då vi söker inverstransformen?
Kan man inverstransformera utan att integrera?

I kursen i Transformteori respektive Signaler och system (och dylika kurser) skulle jag nog säga att man aldrig inverstransformerar m.h.a. integralen. Just nu kommer jag på tre grundläggande sätt för att invertera z-transformen:

Tabeller med räknelagar för z-transformen och standardtransformerna
Lång division ifall A(z) är ett rationellt uttryck
Vanliga maclaurinutvecklingar

Funktionen $A(z)$ som du fått finns bland standardtransformerna och den motsvarar talföljden $a_k=2k$ , $k\in\mathbb{N}$ .

Du ställer dock frågan inom kursen i komplex analys och därmed är jag osäker om ni kanske vill räkna ut integralen.

När talföljden är av exponentiell ordning, d.v.s. det finns $c,m>0$ sådana att $a_k \le c\cdot m^k$ för varje $k \in \mathbb{N}$ , så kommer z-transformen konvergera utanför en cirkel av radien $m$ . När man arbetar med $z$ -transformen, så förutsätter man att $|z| > R$ för något $R \ge 0$ .

Om du börjar med talföljden, så bestäms $R$ i enlighet med talföljdens exponentiella ordning.

Om du börjar med en funktion i $z$ , så bestäms $R$ så att den stämmer överens med den singularitet som ligger längst bort från origo.

Om vi tittar på ditt $A(z)$ så kan den inverteras m.h.a. binomialutvecklingen (d.v.s. maclaurinserien för $w\mapsto (1+w)^\alpha$ ):

$\displaystyle {A(z)} = \dfrac{2z}{(z-1)^2} = \dfrac{2}{z} \cdot \dfrac{1}{(1-z^{-1})^2} = 2\,z^{-1} {(1-z^{-1})}^{-2} = 2z^{-1} \cdot \sum_{k=0}^\infty \binom{-2}{k} {(-z)}^{-k}$

$\displaystyle = \sum_{k=0}^\infty 2\cdot \binom{-2}{k} {(-1)}^k z^{-k-1} = \sum_{k=1}^\infty 2 \cdot\binom{-2}{k-1} {(-1)}^{k-1} z^{-k}$

Därmed är $a_0 = 0$ , och sedan $\displaystyle a_k = 2\cdot \binom{-2}{k-1} {(-1)}^{k-1}$ då $k\ge 1$ . Det återstår att förenkla binomialkoefficienten.

Tillägg: 26 aug 2026 06:57

Jag tappade bort absolutbeloppet när jag skrev om exponentiell ordning. Villkoret borde lyda $|a_k| \le c\cdot m^k$

Hej, tack för svar!

Vi ska nog inte faktiskt behöva sitta med några integraler. Nedan följer facit till uppgiften, men jag förstår inte riktigt vad som händer. Men jag tror allmänt att det är tänkt att man ska använda listiga "trick" för att inverstransformera igen. Vi får inga formelblad så jag tror inte att man ska behöva kunna "tabelltransformer".

Dessutom: vad gäller att $R$ bestäms av talföljdens exponentiella ordning, hur går den att se i vårt fall? Och vad gäller $c,m$ , är dessa fixerade eller beror de på $k\in \mathbb{N}$ ?

naytte skrev:
...

Dessutom: vad gäller att $R$ bestäms av talföljdens exponentiella ordning, hur går den att se i vårt fall? Och vad gäller $c,m$ , är dessa fixerade eller beror de på $k\in \mathbb{N}$ ?

Konstanterna $c$ och $m$ gäller likformigt, d.v.s. hela talföljden oavsett $k$ .

Eftersom uttrycket $A{(z)} = \dfrac{2z}{(z-1)^2}$ har en pol i punkten $z=1$ vars avstånd till origo är $R := 1$ och det finns ingen pol med längre avstånd till origo, så kommer den tillhörande talföljden uppfylla kravet $|a_k| \le c\cdot m^k$ för varje $m > R$ (=1) med ett lämpligt val på $c=c(m)$ . I allmänhet kan det hända att $m=R$ (=1) också skulle funka, dock så är inte fallet här. Jag är ganska säker att $m=R$ inte funkar ifall polen har högre multiplicitet. För tillfället är jag dock osäker hur det är med enkelpoler.

Om du har en talföljd, så bilda "potensserien" enligt definitionen av $z$ -transformen och undersök dess konvergens m.h.a. rotkriteriet:

$Q = \limsup_{k\to\infty} \sqrt[k]{|a_k\,z^{-k}|} \le m/|z|$ . Då får du att $Q<1$ ifall $|z| > m$ .

Svara

Visa senaste svar