Komplex analys - är problem av denna typ helt enkelt flervariabla problem?

Javisst, om $f(x,y)$ är en helt reell funktion så måste ju $\lim_{(x,y)\to(a,b)}f\left(x,y\right)$ existera eller inte existera på precis samma vis, oavsett om vi tänker oss att det är en "komplex funktion" eller en "flervariabel"-funktion eftersom $\mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2$.

Det är först när vi går till derivatan i komplex mening (dvs. som ett gränsvärde av en  differenskvot) som begreppen skiljer sig. Ett exempel på det är funktionen $f(x,y)=x^2+y^2$ som kan få vara $f(z)=|z|^2$. Den är kontinuerlig och deriverbar överallt i $\mathbb{R}^2$, men i det komplexa fallet endast deriverbar i en enda punkt.

Ja, det är riktigt. Man kan säga att det beror på att R^2 och C är isometriska (isomorfa metriska rum) och gränsvärden inte i sig beror av någon annan struktur.

Tillägg: 2 okt 2025 13:31

Missade att frågan redan besvarats

Tack för svar!

@D4NIEL, när du säger att $f(x,y)=x^2+y^2$ är deriverbar överallt i $\mathbb{R}^2$, vad menar du då? Syftar du på riktningsderivata / partiell derivata?

Ja, jag syftade på det lite hårdare kravet differentierbar för att göra en "rättvis" jämförelse med deriverbar i komplex bemärkelse.

Om en funktions partiella derivator existerar och är kontinuerliga i en omgivning av en punkt, så kan vi dra slutsatsen att funktionen är differentierbar i punkten. Eftersom $f(x,y)=x^2+y^2$ har kontinuerliga partiella derivator är den som reell funktion betraktad, dvs $f:\, \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, differentierbar (deriverbar) i hela $\mathbb{R}^2$. Med det menar vi mer exakt att för varje $x_0$ (i varje punkt) gäller att

$\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)-\nabla f(x_0) \cdot \Delta x}{\|\Delta x\|}=0$

Om vi nu jämför med "motsvarande" gränsvärdeskrav för deriverbarhet i det komplexa fallet $f:\, \mathbb{C} \to \mathbb{C}$

$\displaystyle \lim_{\Delta z\to 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)-f^\prime(z_0)\Delta z}{\Delta z}=0$

ser det ganska likt ut. Men det finns viktiga skillnader som leder till att många reellt differentierbara (deriverbara) funktioner $\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ saknar motsvarighet i det komplexa fallet, trots att funktionerna består av "samma reella uttryck"${}^*$, t.ex. $f(x,y)=x^2+y^2$ och $f(z)=|z|^2$ (som bara är deriverbar i en enda punkt). 

$*\quad f:\, \mathbb{C}\to \mathbb{C}$ via $\mathbb{C}\cong \mathbb{R}$ i betydelsen $f:\, \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$