Komplex analys - bestäm bilden av område under avbildning

Hej!

Jag sitter med en uppgift nedan och undrar om jag har tänkt rätt och jag har en del konkreta frågor:

Vi börjar med att inse att vi kan skriva om $f$ som:

$\displaystyle f\left(z\right)=-\frac{(z-3)^2+i}{(z-3)^2-i}$

Vi inför nu funktionerna $p,g,h$ enligt

$\displaystyle g\left(z\right)=z-3$, $\displaystyle h\left(z\right)=z^2$, $\displaystyle p\left(z\right)=-\frac{z+i}{z-i}$

så att $f(z)=(p\circ (h\circ g))(z)$

Beteckna området som definieras i uppgiften med $A$. Bilden av $A$ under $g$, är då trivialt $g(A)=\{z\in \mathbb{C}: \mathrm{Re}z>0, \mathrm{Im}z>0\}$.

Ansätt för nästa transformation $g(A) \ni z=x+iy$. Vi ser att $z^2=x^2-y^2+2xyi$. Eftersom $x,y>0$ måste imaginärdelen för varje $h(z)$ vara positiv. Nu är mitt problem det att jag inte riktigt kan argumentera för min slutsats, nämligen att området borde avbildas på $h(g(A))=\{z\in \mathbb{C}: \mathrm{Im}z>0\}$. Min tanke är att eftersom $x,y$ är oberoende borde det för varje $z_1$ med negativ realdel och positiv imaginärdel finnas ett $z_2$ med positiv realdel och positiv imaginärdel sådant att $z_1$ avbildas på $z_2$ under $h$.

Om vi studerar ett allmänt $z$ på polär form istället ser vi ju att avbildningen $g(A)\ni z\mapsto h(z)$ dubblerar vinkeln. Så om man på något sätt kan argumentera för att "randen till $g(A)$ mappas till randen på $h(g(A))$" och "insidan mappas på insidan" (kanske genom att $g(A)$ är sammanhängande?) så kanske man kan motivera slutsatsen.

Hur som helst har vi enbart $p$ kvar. Om vi nu använder att "ränder mappas på ränder" så kan vi studera vad som händer med randen till $h(g(A))$ under $p$. Vi noterar att för $t\in \mathbb{R} = \partial h(g(A))$ har vi

$\displaystyle \left|p\left(t\right)\right|=\left|\frac{t+i}{t-i}\right|=1$

Alltså mappas varje randpunkt till $h(g(A))$ till en randpunkt till $p(h(g(A)))$ med konstant avstånd till origo, alltså till enhetscirkeln. Kvar är bara att lista ut vad som händer med insidan. Vi noterar att

$\displaystyle p\left(i\right)=-\frac{2}{0}=\infty$

Denna punkt ligger inte på insidan av enhetscirkeln, så insidan av $h(g(A))$ mappas till utsidan av enhetscirkeln och vi har slutligen

$\displaystyle f(A)=\{ z\in\mathbb{C}:|z|>1 \}$

Det stora antagandet är just att "ränder mappas på ränder och insidor på insidor" och det verkar rimligt eftersom varje avbildning är kontinuerlig och injektiv, och mängderna som vi avbildar sitter ju "ihop". Däremot har jag faktiskt ingen motivering för mitt påstående bortom att det känns rimligt.