Komplex analys - bestäm bilden av område under avbildning

Hej!

Jag sitter med en uppgift nedan och undrar om jag har tänkt rätt och jag har en del konkreta frågor:

Vi börjar med att inse att vi kan skriva om $f$ som:

$\displaystyle f\left(z\right)=-\frac{(z-3)^2+i}{(z-3)^2-i}$

Vi inför nu funktionerna $p,g,h$ enligt

$\displaystyle g\left(z\right)=z-3$ , $\displaystyle h\left(z\right)=z^2$ , $\displaystyle p\left(z\right)=-\frac{z+i}{z-i}$

så att $f(z)=(p\circ (h\circ g))(z)$

Beteckna området som definieras i uppgiften med $A$ . Bilden av $A$ under $g$ , är då trivialt $g(A)=\{z\in \mathbb{C}: \mathrm{Re}z>0, \mathrm{Im}z>0\}$ .

Ansätt för nästa transformation $g(A) \ni z=x+iy$ . Vi ser att $z^2=x^2-y^2+2xyi$ . Eftersom $x,y>0$ måste imaginärdelen för varje $h(z)$ vara positiv. Nu är mitt problem det att jag inte riktigt kan argumentera för min slutsats, nämligen att området borde avbildas på $h(g(A))=\{z\in \mathbb{C}: \mathrm{Im}z>0\}$ . Min tanke är att eftersom $x,y$ är oberoende borde det för varje $z_1$ med negativ realdel och positiv imaginärdel finnas ett $z_2$ med positiv realdel och positiv imaginärdel sådant att $z_1$ avbildas på $z_2$ under $h$ .

Om vi studerar ett allmänt $z$ på polär form istället ser vi ju att avbildningen $g(A)\ni z\mapsto h(z)$ dubblerar vinkeln. Så om man på något sätt kan argumentera för att "randen till $g(A)$ mappas till randen på $h(g(A))$ " och "insidan mappas på insidan" (kanske genom att $g(A)$ är sammanhängande?) så kanske man kan motivera slutsatsen.

Hur som helst har vi enbart $p$ kvar. Om vi nu använder att "ränder mappas på ränder" så kan vi studera vad som händer med randen till $h(g(A))$ under $p$ . Vi noterar att för $t\in \mathbb{R} = \partial h(g(A))$ har vi

$\displaystyle \left|p\left(t\right)\right|=\left|\frac{t+i}{t-i}\right|=1$

Alltså mappas varje randpunkt till $h(g(A))$ till en randpunkt till $p(h(g(A)))$ med konstant avstånd till origo, alltså till enhetscirkeln. Kvar är bara att lista ut vad som händer med insidan. Vi noterar att

$\displaystyle p\left(i\right)=-\frac{2}{0}=\infty$

Denna punkt ligger inte på insidan av enhetscirkeln, så insidan av $h(g(A))$ mappas till utsidan av enhetscirkeln och vi har slutligen

$\displaystyle f(A)=\{ z\in\mathbb{C}:|z|>1 \}$

Det stora antagandet är just att "ränder mappas på ränder och insidor på insidor" och det verkar rimligt eftersom varje avbildning är kontinuerlig och injektiv, och mängderna som vi avbildar sitter ju "ihop". Däremot har jag faktiskt ingen motivering för mitt påstående bortom att det känns rimligt.

När det gäller funktionen $h(z)=z^2$ , så kan man nyttja komplexa tals polära form för att motivera att $h$ är en bijektion av $\{z \in \mathbb{C}: \mathrm{Re} z >0, \mathrm{Im} z > 0\}$ på $\{z \in \mathbb{C}: \mathrm{Im} z > 0\}$ då argumentet fördubblas och absolutbeloppet kvadreras.

När det gäller påståendet "rander avbildas på rander", så finns det en allmän sats om homeomorfismer.

Sats: Låt $U$ och $V$ vara två topologiska rum och antag att $f$ är en homeromorfism som avbildar $U$ på $V$ (d.v.s. $f$ är en bijektion och både $f$ och $f^{-1}$ är kontinuerliga). Då gäller att:

$f(\partial M) = \partial f(M)$

$f(M^\circ) = f(M)^\circ$

$f(\overline{M}) = \overline{f(M)}$

för varje mängd $M \subset U$ .

Möbiusavbildningar är homeomorfismer från $\overline{\mathbb{C}}$ på $\overline{\mathbb{C}}$ .

Okej, så det räcker med att helt enkelt skriva "eftersom $h:\bar{\mathbb{C}}\to\bar{\mathbb{C}}$ är en homeomorfi kommer $h(\partial g(A))=\partial h(g(A))$ . Således kan vi studera vart randen till $g(A)$ mappas under $h$ och sedan bekräfta vart insidan hamnar genom att sätta in en punkt"?

Men hur vet man att "insidan" kommer följa med fint till en sida av randen? Det är också ett antagande som jag har gjort genomgående men jag vet inte hur man ska motivera det.

Avbildningen $p$ är en Möbiusavbildning (bland annat kontinuerlig och deriverbar på det utökade planet) och alltså en homeomorfi. Eftersom definitionsmängden $D_p$ (det övre halvplanet) är sammanhängande måste även värdemängden $p(D_p)$ vara sammanhängande.

Jag tycker också du ska kolla om ni inte har ett avsnitt om Möbiusavbildningar, man brukar pränta in att "en Möbiusavbildning avbildar linjer och cirklar på linjer och cirklar". Ibland pratar man om linjerna som generaliserade cirklar och menar då cirklar med oändlig radie (dvs räta linjer). I avsnittet om Möbiusavbildningar brukar man även lista ett antal andra användbara egenskaper SOM DU FÖRMODLIGEN SKA KUNNA!

Hursomhelst, i uppgiften delar enhetscirkeln planet i två områden, det innanför och det utanför cirkeln. Och då kan $p(D_p)$ inte helt plötsligt ligga lite innanför och lite utanför. Då skulle ju området inte längre vara sammanhängande! Därför räcker det att kontrollera bilden av en enda punkt i $D_p$ .

Hej, tack för svar!

Jag har också hört detta om att "Möbiusavbildningar avbildar linjer och cirklar på linjer och cirklar", men ärligt talat har jag inte lyckats förstå meningen med detta mantra. Jag har inte behövt det för att lösa någon uppgift tidigare, i alla fall.

Jag ska ta en titt på avsnitten om Möbiusavbildninar. Jag hade hoppats att jag skulle kunna glida igenom utan att lära mig någon särskild teori om dessa men det är väl värt att ta en snabb titt nu i sista sekund.

Men om jag får ställa en kanske dum fråga om detta mantra, varför är det så viktigt? Är det bara ett sätt att se om ens svar är rimligt? (man vet direkt att man har gjort fel om man får att en generaliserad cirkel mappas på något annat än en generaliserad cirkel)?

Vad är mantrats betydelse i denna uppgift?

En "cirkel" (dvs linje eller cirkel) delar upp $z$ -planet i två områden, antingen i två halvplan eller i områden "innanför" respektive "utanför" cirkeln. Om vi i tur och ordning väljer ut tre punkter $z_1,z_2,z_3$ på denna "cirkel" definierar delkurvans genomloppsriktning ( $z_1 \to z_3$ ) en orientering vilket gör det möjligt för oss att prata om de två områdena som det till vänster och och det till höger om linjestycket, eller om man så vill "i cirkeln" eller "utanför cirkeln". Om vi alltså har en cirkel där vi genomlöper randkurvan moturs ligger området inuti cirkeln till vänster.

Vid en Möbisutransformation $w=M(z)$ som avbildar punkterna $z_1,z_2,z_3$ på $w_1,w_2,w_3$ avbildas området till vänster i $z$ -planet på området till vänster i $w$ -planet. I den här uppgiften skulle du därmed direkt få svar på dina frågor om hur ränder och områden mappas med stöd av teorin.

Det finns också uppgifter där man går åt andra hållet. Man kan till exempel få till uppgift att konstruera en Möbiustransformation som avbildar ett givet område i $z$ -planet på ett enklare område i $w$ -planet. Det är användbart när man vill transformera komplicerade randvärdesproblem till enklare problem.

Svara

Visa senaste svar