Komplex analys -- Finns det något trick för att beräkna denna integral?

Det kan vara lättare att räkna integralen $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{ix}}{(3+x^2)^2}dx$ istället. Notera att den har samma värde som din integral då $i\sin x$ delen är en udda funktion och därmed blir imaginärdelen på hela integralen $0$ (så länge som man visar att den delen är konvergent). 

Jag tror din cirkelbåge-integral inte kommer vara lika jobbig om man har $e^{ix}$ istället för $\cos x$. 

Ja, med $e^{ix}$ blir det kanske enklare! Men jag hänger ändå inte med på resonemanget om att sinus är udda. Att den är udda köper jag förstås, men jag förstår inte varför någon integral skulle bli noll för det.

Efter lite vidare eftertanke borde man väl faktiskt kunna tänka:

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos x}{\left(3+x^2\right)^2}dx=\mathrm{Re} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{\left(3+x^2\right)^2}dx$

och sedan konstatera att

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{\left(1+x^2\right)^2}dx=\lim_{R\to\infty}\int_{\gamma_1(R)}\frac{e^{iz}}{\left(1+z^2\right)^2}dz$

där $\gamma_1(R)$ parametriseras enligt $z(x)=x$ för $x\in[-R,R]$.

Så om vi konstruerar halvcirkeln för denna komplexa funktion istället, så får vi kanske ett enklare gränsvärde. Jag ska försöka lösa integralen så här och se om jag kan komma fram till något. Det var lite krångligt att tänka på detta sätt eftersom det är "åt fel håll". Oftast definierar vi vår egen kurva i planet och parametriserar denna hur vi vill. Här har vi "deducerat" en kurva och dess parametrisering istället.

Här finns det återigen en hjälpsats som kanske (jag hoppas och tror!) ingår i er kurs. Om $v>0$ och gradtalet av $Q$ är större än gradtalet av $P$ så är

$\displaystyle \lim_{R\to \infty}\int_{C_1}\frac{P(z)}{Q(z)}e^{ivz}\,dz=0$

Detta är en variant av Jordans lemma som, åtminstone tidigare, ingick i kursen och fanns med på bevislistan.

Det gäller alltså att

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{P(x)}{Q(x)}e^{ivx}\,dx=2\pi i \sum_{res}\frac{P(z)}{Q(z)}e^{ivz}$ för alla poler u.h.p

Återigen tycker jag inte att du ska satsa på att bevisa specialfallet på tentan, även om det är nyttigt att göra det som förberedelse. Det lönar sig att lära sig vissa av hjälpsatserna utantill.

Sen är det bara att ta realdelen om man vill ha cos och imaginärdelen om man vill ha sin

Hej!

Jag ska ta en ordentlig titt imorgon på vilka satser som finns i boken. De satser som finns med i vår bevislista är

Jag tror för övrigt att jag lyckades lösa uppgiften på egen hand! Om vi identiferar:

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{(1+x^2)^2}dx = \lim_{R\to\infty}\int_{\gamma_1(R)}\frac{e^{iz}}{(1+z^2)^2}dz$

för $\gamma_1\left(R\right): z\left(x\right)=x, x\in[-R,R]$

Då behöver vi bara "lägga till" cirkelbågen $\gamma_2(R): z(\theta)=Re^{i\theta},\theta\in[0,\pi]$ för att bilda vår halvcirkel och använda residysatsen. Vi har då (residyerna beror inte på $R$):

$\displaystyle \lim_{R\to\infty}\int_{\gamma_1(R)}\frac{e^{iz}}{(1+z^2)^2}dz=2\pi i\sum_{j}\mathrm{Res}\left(z_j\right)-\lim_{R\to\infty}\int_{\gamma_2\left(R\right)}\frac{e^{iz}}{(1+z^2)^2}dz$

Om vi bara stoppar in parametriseringen för integralen i HL kan vi använda samma instängningsargument som LuMa07 visade igår:

$\displaystyle \lim_{R\to\infty}\left|\int_{\gamma_2\left(R\right)}f\left(z\right)dz \right| \le \lim_{R\to\infty}\int_{0}^{\pi}\frac{|iRe^{iR\exp(i\theta)}|}{|1+R^2e^{2i\theta}|^2}d\theta \le \lim_{R\to\infty}\int_{0}^{\pi}\frac{R}{(R^2-1)^2}d\theta=0$

Alltså har vi

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{(1+x^2)^2}dx=\mathrm{Re}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{(1+x^2)^2}dx=2\pi i \mathrm{Res\left(i\sqrt{3}\right)}=\frac{\pi\left(1+\sqrt{3}\right)}{6e^{\sqrt 3}\sqrt{3}}$

vilket är rätt svar.

Det ser bra ut, ,men det händer ju något konstigt i mellansteget, du borde ju få täljaren $e^{iz} iRe^{i\theta}$ och vidare

$\displaystyle |e^{iRe^{i\theta}}|=|e^{-R\sin\theta}||e^{iR\cos \theta}|$

cos-delen har ju absolutbeloppet 1, och termen som hade kunnat sticka iväg är

$|e^{iRe^{i\theta}}|=e^{-R\sin(\theta)}\leq1$ 

Edit: btw, $\int_{-\infty}^{\infty} sin(x)\,dx$ är divergent i standardanalysen

Varför skulle täljaren bli så?

Vi har

$\displaystyle f\left(z\right)=\frac{e^{iz}}{(1+z^2)^2}$

Så då borde väl

$\displaystyle f\left(Re^{i\theta}\right)=\frac{e^{iRe^{i\theta}}}{(1+(Re^{i\theta})^2)^2}$

Sedan gångrar vi också med $z^\prime(\theta)=iRe^{i\theta}$

Så integranden borde väl bli

$\displaystyle \frac{iRe^{i\theta}e^{iRe^{i\theta}}}{(1+(Re^{i\theta})^2)^2}$

(jag missade alltså en faktor, men jag tänker att beloppet av det jag missade blir ett ändå)

naytte skrev:

Ja, med $e^{ix}$ blir det kanske enklare! Men jag hänger ändå inte med på resonemanget om att sinus är udda. Att den är udda köper jag förstås, men jag förstår inte varför någon integral skulle bli noll för det.

Eftersom vi integrerar över hela $\mathbb R$ kommer ”sinus integralen” över de negativa talen och positiva talen ha samma värde fast motsatt tecken från att integrandet är udda. Därmed blir hela integralen 0. Det spelar ingen roll egentligen och man kan, som du säger, tänka på realdelen istället. Jag påstår i förväg i alla fall att imaginärdelen kommer bli 0 på grund av detta. 

Tillägg: 14 aug 2026 10:47

Symboliskt (förutsatt att allt är konvergent, vilket det är):

$\displaystyle \int_{-\infty}^0 \frac{\sin x}{(3+x^2)^2}dx = \int_{-\infty}^0 \frac{-\sin(-x)}{(3+(-x)^2)^2}dx=-\int_{0}^\infty \frac{\sin t}{(3+t^2)^2}dt.$ 

Där vi substituerat $t=-x$ i den sista likheten. Därmed är 

$\displaystyle\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin x}{(3+x^2)^2}dx = \int_{0}^\infty \frac{\sin x}{(3+x^2)^2}dx+\int_{-\infty}^0 \frac{\sin x}{(3+x^2)^2}dx=0.$

naytte skrev:

Varför skulle täljaren bli så?

(jag missade alltså en faktor, men jag tänker att beloppet av det jag missade blir ett ändå)

Ja, det ser bättre ut, men absolutbeloppet tycker jag också du ska förtydliga

$\left|e^{iRe^{i\theta}}\right|=\left|e^{iR(\cos\theta+i\sin\theta)}\right|=\left|e^{-R\sin\theta}e^{iR\cos\theta}\right|=\left|e^{-R\sin\theta}\right|\left|e^{iR\cos\theta}\right|=e^{-R\sin\theta}$

Och $\left|e^{-R\sin(\theta)}\right|\neq 1$, tvärtom ramlar det ut ett R i integrationen osv och du går ju inte i gräns förrän på slutet, så jag tycker att en liten motivering/kommentar är på plats :)

Angående diskussionen om $\int_{-\infty}^{\infty} \sin(x)\, dx$

I standardanalys delas gränsen upp i två intervall,

$\int_{-\infty}^{\infty} \sin(x)\, dx=\int_{-\infty}^{0} \sin(x)\, dx+\int_{0}^{\infty} \sin(x)\, dx$

Men i komplex analys används ibland 

$\int_{-\infty}^{\infty} \sin(x)\, dx=\lim_{R\to \infty} \int_{-R}^{R} \sin(x)\, dx$

Det kallas Cauchys principalvärde och är ett sorts fusk för att ge ett värde åt (oturligt nog divergenta) integraler. Genom att närma sig oändligheten symmetriskt från båda sidor tar man lite yolo ut oändligheter mot varandra .Man kan visa att om det "vanliga" värdet av integralen existerar enligt standardanalys sammanfaller det med Cauchys principalvärde. Det ger oss också möjlighet att tillskriva annars divergenta integraler värden som hjälper oss i praktiska räkningar, som i det här fallet.

Ah, jag tänkte lite fel i nattyran igår vad gäller absolutbeloppet. Jag tänkte att eftersom $\forall x\in \mathbb{R}$ gäller

$\displaystyle |e^{ix}|=1$

Men detta kan vi ju inte använda här eftersom $x$ i vårt fall är komplext!