Komplex analys - har jag tillämpat Rouchés sats korrekt?

Hej!

Jag har räknat igenom uppgiften nedan, och undrar om jag har resonerat korrekt eller om något är fel.

Min plan är att använda Rouchés sats på nämnaren, dels inom området vars rand definieras av $|z|=2$, och dels inom området vars rand definieras av $|z|=1$.

Låt $G\subseteq \mathbb{C}$ beteckna det område vars rand $\partial G$ definieras av $|z|=2$. Definiera vidare två funktioner $g$ och $h$ enligt $g\left(z\right)=z^5$ respektive $h\left(z\right) = 5z^2+z+1$.

För alla $z\in \partial G$ har vi $\displaystyle |g\left(z\right)|>|h\left(z\right)|$, ty $\displaystyle |g\left(z\right)|=|z^5|=|z|^5=2^5=32$ och $\displaystyle |h\left(z\right)|=|5z^2+z+1|\le 5|z|^2+|z|+1=23$.

Notera ytterligare att $g$ och $h$ är analytiska inom $G$ (inkl. randen).

Eftersom funktionerna $g$ och $h$ tillsammans med kurvan $\partial G$ uppfyller hypotesen för Rouchés sats gäller att antalet nollställen i $G$, inklusive multiplicitet, är lika stort för $g$ som för $g+h$. $g(z)=z^5$ har fem nollställen i $G$, så det har även $f+g$.

Om vi genomför ett motsvarande resonemang för $|z|=1$ och väljer $g(z)=5z^2$ och $h(z)=z^5+z+1$, får vi att antalet nollställen här är två. Således är antalet nollställen inom annulusen $N=3$.

Nämnare och täljare till $f$ delar inga nollställen så alla nollställen till nämnaren av $f$ är poler. De kan inte vara essentiella singulariteter eftersom $f$ är en rationell funktion. Således är antalet poler inom området som definieras i uppgiften $P=3$.