14 svar

246 visningar

naytte behöver inte mer hjälp

Komplex analys -- hur bestämmer man koefficienten till Laurentserien till denna funktion?

Hej!

Jag sitter med uppgift nedan från en gammal tentamen och jag fattar inte ett skvatt av lösningsförslaget:

Låt oss inleda med att definiera en funktion $f$ som definieras av integranden till integralen.

Vi noterar att mänden av alla $z\in\mathbb{C}$ som satisifierar $|z|=2$ definierar en cirkel med radie $R=2$ och centrum i $z=0$ . Utan att explicit visa en parametrisering kan vi konstatera att denna cirkel kan parametriseras till en kurva $\gamma$ sådan att $\gamma$ är enkel, sluten och positivt orienterad. Vidare är $f$ analytisk på och inom denna kurva förutom vid en isolerad singularitet $z=0$ inom $\gamma$ .

Således kan vi tillämpa Cauchys residysats:

$\displaystyle \int_{|z|=2}f\left(z\right)dz=2\pi i \mathrm{Res}\left(0\right)$

Residyn ges ju av koefficienten $a_{-1}$ i Laurentserieutvecklingen av $f$ runt $z=0$ . Nu är frågan hur man faktiskt ska bestämma serien. Jag tänker att man ska utnyttja kända serier som:

$\displaystyle e^{2z}=1+2z+\frac{4z^2}{2!}+\dots$

$\displaystyle \sin z=z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}+\dots$

Men jag förstår inte hur man ska manipulera dem så att man faktiskt kan få ut koefficienten. Finns det något allmänt "recept" man kan använda för att bestämma koefficienten om man har de relevanta Taylorserierna?

EDIT: Jag ser nu att singulariteten faktiskt råkar vara en pol av ordning 3, så då finns det ju andra sätt att bestämma residyn på som är enklare, men jag skulle vilja försöka med serieutvecklingar.

Vet inte om det är något, men

$\frac{\sin z}{z} = 1 - z^{2} / 6 + z^{4} / 120 + O (z^{6})$

$\frac{1}{1 - z} = 1 + z + O (z^{2})$

$\frac{z}{\sin z} = 1 + z^{2} / 6 + O (z^{4})$

Hmm... Hur ska man använda dessa trunkerade serier?

$\frac{e^{2 z}}{\sin^{3} z} = \frac{e^{2 z}}{z^{3}} {(\frac{z}{\sin z})}^{3} = \frac{e^{2 z}}{z^{3}} (1 + z^{2} / 2 + O (z^{4}))$ .

Hur kom du fram till uttrycket för

$\displaystyle \left(\frac{z}{\sin z}\right)^3$

$(1 + z^{2} / 6 + O (z^{4})) (1 + z^{2} / 6 + O (z^{4})) (1 + z^{2} / 6 + O (z^{4})) = 1 + 3 z^{2} / 6 + O (z^{4})$

Jag hänger tyvärr inte med. Varifrån kommer de polynomen för $z /\sin z$ ?

Tillägg: 15 aug 2026 14:31

Rättade till texten. Hade råkat skriva sin z / z istället för z / sin z

Man kan använda polynomdivision (med liggande stolen) för de två taylorpolynomen du tagit fram, behövs ju bara två rader!:)

Lösning med liggande stolen:

Visa spoiler

Med $\sin^3\left(z\right)=z^3-\frac15z^5+\dots$ och $e^{2x}=1+2z+2z^2+\frac43z^3+\dots$ får vi

Så koefficienten framför $z^{-1}$ är alltså $\frac52$

Smart! Det slog mig inte ens att testa polynomdivision. Är det något man kan testa som standardknep på alla frågor av detta slag, givet att man känner Taylorutvecklingarna runt den aktuella singulariteten?

Det går alltid att _försöka_ använda det, men jag skulle inte se det som "standardknep". Oftast är det avsevärt enklare och snabbare att rättframt använda uttrycket

$\mathrm{Res}\left[f(z),z_0\right]=\lim_{z\to z_0}\frac{1}{(N-1)!}\frac{d^{N-1}}{dz^{N-1}}\left[(z-z_0)^Nf(z)\right]$

Men i just den här uppgiften kommer du märka att du får kvar ett odefinierat "0/0", när du deriverat alla gånger som behövs. Gränsvärden för sådana uttryck går att lösa med L'Hôpitals regel, men det är lite knöligt. Dessutom hade du ju redan serieutvecklingen för täljare och nämnare var för sig samtidigt som vi inte behöver gå särskilt många steg för att hitta termen som innehåller $z^{-1}$ (uttrycken är hanterbara i polynomdivisionen). Så använd det alltså när det är enklare, inte som standard :)

Jag försökte använda polformeln som du visar ovan men det blev så krångligt att jag tappade tråden. Alltså enbart deriveringen i sig blev horribel, innan man ens kom till att försöka utvärdera gränsvärdet.

Hur som helst förstår jag fortfarande inte riktigt hur ni kom fram till att

$\displaystyle \sin^3 z = z^3 - \frac{1}{5}z^2+...$

Är man helt enkelt bara tvungen att manuellt multiplicera ihop tre trunkerade MacLaurinutvecklingar? :(

Jag tror multiplikationen är det trevligaste sättet (annan kan man ju också bara använda taylors formel, fast då måste man derivera $\sin^3 z$ ett par gånger vilket inte är särskilt kul).

Det som är skönt är att det finns väldigt många multiplikationer man kan ignorera av genom att kolla gradtalet av den resulterande termen (om man vet till hur högt gradtal man vill ha sin serieutveckling).

När man har enklare potenser av trigonometriska funktioner är det ofta enkelt att använda en trigonometrisk identitet.

Om man till exempel känner till att $\cos^2\left(z\right)=1-z^2+\frac13z^4$ gäller ju

$\sin^3\left(z\right)=\sin\left(z\right)(1-\cos^2\left(z\right))=(z-\frac{1}{3!}z^3+\dots)(z^2-\frac13z^4+\dots)=z^3-\frac12z^5+\dots$

Känner man inte till $\cos^2\left(z\right)$ kan den enkelt beräknas med

$\cos^2\left(z\right)=\frac{1+\cos\left(2z\right)}{2}$

Känner man inte till $\cos\left(z\right)$ får man lära sig den (och några andra utvecklingar) utantill! Eller härleda dem med hjälp av formeln.

Regeln är som Alex påpekar att du struntar i termer som har mer än säg grad 5 direkt och att du håller antalet parenteser nere genom att räkna stegvis och utnyttja utantillkunskap + trigonometriska samband.

Man kan också derivera / integrera termvis för vissa serier och det finns "a bag of tricks" att lära sig om man man vill, men det kommer inte vara nödvändigt i en grundkurs.

Ah, smart med att skriva om $\sin^2 z$ som $1-\cos^2 z$ !

Jag måste ta en titt på och påminna mig själv om vanliga trigonometriska formler. Tyvärr är vår examinator väldigt elak och ger inga formelblad :(

Svara

Visa senaste svar