Komplex analys -- hur bestämmer man koefficienten till Laurentserien till denna funktion?

Hej!

Jag sitter med uppgift nedan från en gammal tentamen och jag fattar inte ett skvatt av lösningsförslaget:

Låt oss inleda med att definiera en funktion $f$ som definieras av integranden till integralen.

Vi noterar att mänden av alla $z\in\mathbb{C}$ som satisifierar $|z|=2$ definierar en cirkel med radie $R=2$ och centrum i $z=0$. Utan att explicit visa en parametrisering kan vi konstatera att denna cirkel kan parametriseras till en kurva $\gamma$ sådan att $\gamma$ är enkel, sluten och positivt orienterad. Vidare är $f$ analytisk på och inom denna kurva förutom vid en isolerad singularitet $z=0$ inom $\gamma$.

Således kan vi tillämpa Cauchys residysats:

$\displaystyle \int_{|z|=2}f\left(z\right)dz=2\pi i \mathrm{Res}\left(0\right)$

Residyn ges ju av koefficienten $a_{-1}$ i Laurentserieutvecklingen av $f$ runt $z=0$. Nu är frågan hur man faktiskt ska bestämma serien. Jag tänker att man ska utnyttja kända serier som:

$\displaystyle e^{2z}=1+2z+\frac{4z^2}{2!}+\dots$

$\displaystyle \sin z=z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}+\dots$

Men jag förstår inte hur man ska manipulera dem så att man faktiskt kan få ut koefficienten. Finns det något allmänt "recept" man kan använda för att bestämma koefficienten om man har de relevanta Taylorserierna?

EDIT: Jag ser nu att singulariteten faktiskt råkar vara en pol av ordning 3, så då finns det ju andra sätt att bestämma residyn på som är enklare, men jag skulle vilja försöka med serieutvecklingar.