Komplex analys - kan en sådan harmonisk funktion existera?

Hej!

Jag sitter med uppgiften nedan:

Jag undrar om mitt resonemang är korrekt. Börja med att anta att $u$ är en harmonisk funktion på $\bar{D}[0,3]$ med $u(x,y)=3$ om $|z|=3$ . Eftersom $u$ är harmonisk i $\bar{D}[0,3]$ , och $\bar{D}[0,3]$ är ett kompakt område, antar $u$ enligt maximumprincipen för harmoniska funktioner både sitt maximala och minimala värde på randen till disken. Eftersom dessa är lika med varandra måste $u$ vara konstant på hela disken. Detta är oförenligt med att $u(x,y)=2$ på $C[0,2]\subseteq D[0,3]$ . Därför kan en sådan harmonisk funktion inte existera.

Ja, jag tycker att argumentet håller.

Matematiskt är allt gott men jag har lite nyanserande ord om tillämpligheten hos det här resultatet

Det här resultatet är sannt men kan vara lite missvisande gällande egenskaperna hos harmoniska funktioner då det stora arbetet i det här beviset görs av att funktionen är analytisk i hela komplexa talplanet vilket möjliggör för oss att prata om hela disken D(0,3).

Om problemet endast hade avkrävt att funktionen var harmonisk i annullusen mellan cirklarna A(2,3) = D(0,3)-D(0,2) så hade beviset inte gått att utföra och det hade faktiskt funnits en funktion som var harmonisk på det området.

$u(x,y) = \cfrac{\ln(\sqrt{x^2 + y^2}/2)}{\ln(3/2)} + 2$

Jag bad gemini att ta fram lösningen eftersom siffrorna inte intresserar mig så kan vara fel i detaljer men jag kommer till den fysikaliska bakgrunden till varför denna typ av funktion ska tas på allvar.

Denna funktion är harmonisk överallt i planet men är odefinierad och oharmonisk vid (0,0). SÅ problemet är lösbart om vi skulle försökt hitta en funktion som var harmonis på det punkterade planet C-{0}

Så varför är fysiker intresserade av lösningar som inte gäller i hela planet?

I matematisk fysik är ett standardproblem att se till att Laplaces ekvation ∇²u = 0 gäller på en domän D samtidigt som det är irrelevant vad funktionen gör utanför domänen. "Harmonisk" och "löser laplace" är samma sak, vilket är fysikernas skäl att studera harmoniska funktioner.

I elektrostatik motsvarar Laplaces ekvation att ett område är tomt på elektrisk laddning men att elektriska fält finns i området och u motsvarar den elektrostatisk potentialen.

Elektrostatik är i realiteten en 3D-vetenskap men i situationer med hög translationssymmetri så får man Laplaces ekvation i 2D. Ett standardexempel är att finna potentialen runt en oändligt rak likformigt laddad ledare.

Löser man denna i polära koordinater får man

$u(r) = -\cfrac{\rho / \epsilon_0}{2\pi} \ln \left ( \cfrac{r}{r_0} \right )$

där $r_0$ är en godtycklig konstant och $\rho$ ,är laddningsdensiteten i coulomb per meter, och $\epsilon_0$ är vakuumpermeabiliteten. Man kan välja dessa konstanter så att man får u(2) = 23 och u(3) = 3 om man vill få specialfallet med siffrorna ovan.

Notera att u(r) inte är harmonisk vid r = 0 men det är inget konstigt för fysikern eftersom laddningen ju inte är 0 vid r = 0 då fanns ingen anledning att kräva att laplaces ekvation där.

Svara