4 svar

59 visningar

Komplex analys - lösa integral med residykalkyl

Hej!

Jag sitter med b)-uppgiften nedan från en gammal tentamen i komplex analys och skulle behöva lite vägledning och även hjälp att se om mina logiska slutledningnar är korrekta.

Vi inleder med att beteckna den sökta integralen med $I$ och att definiera en komplex funktion $f$ enligt

$\displaystyle f\left(z\right)=\frac{1}{\left(1+z^2\right)^N}$

samt två kurvor i planet enligt

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ll}\gamma_1\left(R\right):z\left(t\right)=t,& t\in\left[-R,R\right]\\gamma_2\left(R\right): z\left(t\right)=Re^{i\theta},& \theta \in\left[0,\pi\right] \end{array}\right.$

Notera speciellt att

$\displaystyle I=\lim_{R\to \infty} \int_{\gamma_1\left(R\right)}f\left(z\right)dz=:\lim_{R\to\infty} I_R$

Eftersom $\Gamma\left(R\right) :=\gamma_1\left(R\right) \cup \gamma_2\left(R\right)$ är en enkel, positivt orienterad och sluten kurva, inom och på vilken $f$ är analytisk, förutom för tillräckligt stora $R$ vid en uppräknelig mängd isolerade singulariteter $z_0,\dots, z_n$ , gäller det enligt Cauchys residysats att

$\displaystyle \oint_{\Gamma\left(R\right)}f\left(z\right)dz=2\pi i\sum_{j=1}^{n}\mathrm{Res}\left(z_j\right)$

För tillräckligt stora $R$ ser vi att $f$ har en pol av ordning $N$ inom $\Gamma\left(R\right)$ , nämligen vid $z=i$ . Residyn i denna punkt ges av

$\displaystyle \mathrm{Res}\left(i\right)= \lim_{z\to i}\frac{1}{\left(N-1\right)!}\frac{d ^{N-1}}{{dz}^{N-1}}\left(\left(z-i\right)^N f\left(z\right)\right)=\lim_{z\to i}\frac{1}{\left(N-1\right)!}\frac{d ^{N-1}}{{dz}^{N-1}}\left(z+i\right)^{-N}$

Vi inför en variabel $k\in \mathbb{N}_{\gt 0}$ och härleder ett allmänt uttryck för derivatan för $k$ . Sedan kan vi stoppa in $k=N-1$ . Vi ser att

$\displaystyle \frac{d ^{k}}{{dz}^{k}}\left(z+i\right)^{-N}=\frac{\left(-1\right)^k\left(N+k-1\right)!}{\left(N-1\right)!}\left(z+i\right)^{-\left(N+k\right)}$

Så då $k=N-1$ har vi

$\displaystyle \frac{d ^{N-1}}{{dz}^{N-1}}\left(z+i\right)^{-N}=\frac{\left(-1\right)^{N-1}\left(2N-2\right)!}{\left(N-1\right)!}\left(z+i\right)^{-\left(2N-1\right)}$

Gränsvärdet utvärderas nu trivialt:

$\displaystyle \lim_{z\to i}\frac{1}{\left(N-1\right)!}\frac{d ^{N-1}}{{dz}^{N-1}}\left(\left(z-i\right)^N f\left(z\right)\right)=\frac{\left(-1\right)^{N-1}\left(2N-2\right)!}{2^{2N-1}\left(\left(N-1\right)!\right)^2}i^{-(2N-1)}$

Om vi återgår till Residysatsen har vi nu alltså

$\displaystyle \mathrm{Res}\left(i\right) = 2\pi i\frac{\left(-1\right)^{N-1}\left(2N-2\right)!}{2^{2N-1}\left(\left(N-1\right)!\right)^2}i^{-(2N-1)}=\pi \frac{\left(-1\right)^{N-1}\left(2N-2\right)!}{2^{2N-2}\left(\left(N-1\right)!\right)^2i^{2N-2}}=\frac{\pi\left(2N-2\right)!}{2^{2N-2}\left(\left(N-1\right)!\right)^2}$

Vi har då alltså:

$\displaystyle I=\lim_{R\to\infty}\int_{\gamma_1\left(R\right)}f\left(z\right)dz=\frac{\pi\left(2N-2\right)!}{2^{2N-2}\left(\left(N-1\right)!\right)^2}-\lim_{R\to\infty}\int_{\gamma_2\left(R\right)}f\left(z\right)dz$

Nu gäller det bara att lyckas beräkna den andra integralen, men här är jag lite fast. Helst skulle jag vilja använda typ $ML$ -olikheten på något sätt men jag är osäker på de tekniska detaljerna.

Sätt in parametriseringen av kurvan $\gamma_2$ och sedan är det "bara" triangelolikhet som behövs för att visa att gränsvärdet är noll.

$\displaystyle \int_{\gamma_2} \frac{dz}{(1+z^2)^N} = \int_0^\pi \frac{iR\,e^{i\theta}}{(1+R^2 e^{i2\theta})^N}\,d\theta$ .

Triangelolikheten ger att $| 1+R^2 e^{i2\theta} | \ge R^2 |e^{i2\theta}| - 1 = R^2-1$ .

Visa spoiler

Därmed blir

$\displaystyle \left| \int_0^\pi \frac{iR\,e^{i\theta}}{(1+R^2 e^{i2\theta})^N}\,d\theta \right| \le \int_0^\pi \left| \frac{iR\,e^{i\theta}}{(1+R^2 e^{i2\theta})^N} \right| \,d\theta \le \int_0^\pi \frac{R}{(R^2-1)^N} \,d\theta \to 0$ då $R\to\infty$

Jag hänger inte riktigt med på vad som händer här. Jag köper olikheten med beloppen. Men sedan hänger jag inte riktigt med. Är tanken att

$\displaystyle \int_{0}^{\pi}\left|\frac{iRe^{i\theta}}{\left(1+R^2e^{2i\theta}\right)^N}\right|d\theta =\int_{0}^{\pi}\frac{\left| iRe^{i\theta}\right|}{\left| \left(1+R^2e^{2i\theta}\right)^N\right |}d\theta=\int_{0}^{\pi}\frac{R}{\left|\left(1+R^2e^{2i\theta}\right)^N\right |}d\theta =\int_{0}^{\pi}\frac{R}{\left|1+R^2e^{2i\theta}\right |^N}d\theta$

Och eftersom triangelolikheten ger att $\left| 1+R^2e^{2i\theta}\right| \ge R^2-1$ , så måste

$\displaystyle \frac{R}{\left|1+R^2e^{2i\theta}\right |^N} \le \frac{R}{\left(R^2-1\right)^N}$

varför

$\displaystyle \int_{0}^{\pi}\frac{R}{\left|1+R^2e^{2i\theta}\right |^N} d\theta \le \int_{0}^{\pi}\frac{R}{\left(R^2-1\right)^N}d\theta$

och eftersom något större eller lika stort än beloppet av vår integral går mot noll, måste beloppet av vår integral gå mot noll, och då också alltså själva integralen (beloppet kan enbart gå mot noll om integralen går mot noll)?

Hur som helst, om vi vet att

$\displaystyle \lim_{R\to\infty}\int_{\gamma_2\left(R\right)}f\left(z\right)dz=0$

då har vi att

$\displaystyle I= \frac{\pi\left(2N-2\right)!}{2^{2N-2}\left(\left(N-1\right)!\right)^2}$

Speciellt för $N=2$ (den första deluppgiften) har vi att

$\displaystyle I= \frac{\pi}{2}$

Vilket är rätt svar.

Hur som helst undrar jag om mitt resonemang och mina slutledningar är logiskt korrekta? Jag har försökt motivera varje steg så noggrant som möjligt och explicit förklara varför t.ex. residysatsen är tillämpbar här.

naytte skrev:
...

och eftersom något större eller lika stort än beloppet av vår integral går mot noll, måste beloppet av vår integral gå mot noll, och då också alltså själva integralen (beloppet kan enbart gå mot noll om integralen går mot noll)?

Exakt.

Det gäller även för komplexvärda gränsvärden att

$\displaystyle \lim_{R\to \infty} {I_2(R)} = 0$ om och endast om $\displaystyle \lim_{R\to \infty} \left| I_2(R)\right| = 0$

Sedan är det bara den vanliga instängningssatsen för reellvärda gränsvärden:

$\displaystyle 0 \le \left | \int_{\gamma_2(R)} {f(z)}\,dz \right| \le \int_0^\pi \dfrac{R}{(R^2 - 1)^N}\,d\theta = \underbrace{\dfrac{\pi\,R}{(R^2 - 1)^N}}_{\to 0}$

så

$\displaystyle \lim_{R\to\infty} 0 \le \lim_{R\to \infty}\left | \int_{\gamma_2(R)} {f(z)}\,dz \right| \le \lim_{R\to\infty} \dfrac{\pi\,R}{(R^2 - 1)^N}$ .

Btw: Det gick också att skaffa sig en ML-olikhet som dock också baseras på triangelolikheten:

${|1 + z^2|} \ge {|z^2|} - {|1|} = {|z|^2} - 1 \implies |\dfrac{1}{(1+z^2)^N}| = \dfrac{1}{|1+z^2|^N} \le \dfrac{1}{(|z|^2 - 1)^N} = \dfrac{1}{(R^2-1)^N} =: M$

(OBS: Olikhetshantering som ovan är korrekt endast under förutsättningen att $|z| > 1$ . Vi vill att $R\to\infty$ , så det är inget problem egentligen.)

Halvcirkelns längd är då $L := \pi\,R$ , så $\displaystyle \left | \int_{\gamma_2(R)} {f(z)}\,dz \right| \le M \cdot L = \dfrac{1}{(R^2-1)^N} \cdot \pi R$ .

Svara

Visa senaste svar