Komplex analys - reda ut begreppen holomorf och analytisk

Jag har inte stött på ngn större skillnad, men jag vill påpeka att din mängd G ska vara öppen. Holomorfi är något som alltid försiggår på öppna mgder. Detta för att komplex deriverbarhet ska vara oberoende av vägen mot deriveringspunkten.

Några kommentarer till definitionen av analytiska funktioner:

I själva definitionen bör man inte säga att det handlar om Taylorserien, utan att det finns en potensserie runt $z_0 \in G$. (Det blir Taylorserien i slutändan, men det är något som bevisas.)

Potensserier brukar vara konvergenta i cirkelskivor. Man kan därmed inte förvänta sig att potensserien runt $z_0$ konvergerar mot $f(z)$ för varje $z\in G$ (om själva $G$ inte råkar vara en cirkelskiva med medelpunkten $z_0$). Påståendet behöver lokaliseras: Till varje $z_0 \in G$ finns en (cirkulär) omgivning $U \subset G$ med medelpunkten i $z_0$ och en potensserie så att denna serie konvergerar mot $f(z)$ i varje punkt $z \in U$.

Okej, det mejkar sense! Tack!

Men stämmer det jag skrev om Cauchy-Riemanns ekvationer? Det vill säga, en funktion

$\displaystyle f\left(z\right):=u(x,y)+iv(x,y)$, där $z=x+iy$

är holomorf på en öppen mängd $G\subseteq\mathbb{C}$ om och endast om

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial y}$

existerar kontinuerligt samt

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\;\;\text{och}\;\; \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

på $G$