Komplex analys - Rouchés sats på ett komplicerat område

Hej!

Jag sitter med uppgiften nedan och skulle vilja veta huruvida min lösning är korrekt (det är ett feltryck i uppgiften):

För att ens kunna tillämpa Rouchés sats måste vi förstå vilket område det rör sig om. Vi kan kalla $\mathrm{Re}z =: x$ och $\mathrm{Im} z =: y$. I så fall ger olikheterna, inritat i ett koordinatsystem,

Kalla detta område för $A$ och kalla dess rand för $\partial A$. Vi noterar att funktionen i fråga är analytisk inom $A$ och på dess rand. Definiera $f\left(z\right)=z^3+z$ samt $g\left(z\right)=e^{z/3}$. Vi har för alla $z\in \partial A$ att:

$\displaystyle |g\left(z\right)|=|e^{z/3}|=e^{x/3}\le e$

Vi har dessutom att

$\displaystyle \left|f\left(z\right)\right|=|z^3+z| \ge |z|^3-|z|$

Notera att för alla $z\in \partial A$ är $|z| \le 3$. Därför följer det för alla sådana $z$ att

$\displaystyle |z|^3-|z| \ge |z|^3-3$

Eftersom det kortaste avståndet mellan en punkt och en linje är det avstånd som är vinkelrätt mot linjen inser vi att det minsta avståndet från origo till $y=3-x$ är $y=3/2$, med $x=3/2$. Så vi har att för alla $z\in \partial A$:

$\displaystyle \left|z\right| \ge \sqrt{2\cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2}=\frac{3}{\sqrt{2}}$

Således följer det att

$\displaystyle \left|z\right|^3-3 \ge \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^3-3=\frac{27}{2\sqrt{2}}-3\ge \frac{27}{3}-3=9-3=6 >e$

Således har vi visat att för alla $z\in \partial A$:

$\displaystyle \left|f\left(z\right)\right|\gt |g\left(z\right)|$

Enligt Rouchés sats gäller det alltså att $f$ har lika många nollställen inom $A$ som $f+g$. $f$ har tre nollställen inom $A$, så därför har $f+g$ också detta. Inget av dem ligger på $\partial A$.

$\blacksquare$