Komplex Analys - Tillämpa Rouchés sats på ett oändligt område

Hej!

Här kommer min tredje och förhoppningsvis sista fråga om Rouchés sats på forumet. Jag satt med en slags uppgift jag inte hade sett tidigare:

Vanligtvis så ska man ju bestämma anatalet nollställen inom ett slutet område, inte ett obegränsat område som hela vänstra halvplanet (VHP)! Men egentligen så kan vi väl bara skaffa oss ett begränsat område genom att inse att alla nollställen i VHP måste ligga inom någon sluten kurva (eftersom $f$ inte har någon periodicitet eller något sådant konstigt för sig). Så jag tänkte alltså på följande vis (och undrar om det är korrekt):

Låt $\displaystyle \partial A_r:=\{ z\in\mathbb{C}:|z|=r, \mathrm{Re}(z)\le 0\}$. Notera att $\partial A_r$ definierar randen till ett slutet område $A_r$. Definiera ytterligare $g(z) = z+3$ samt $h(z) = 2e^z$.

Notera att för alla $r>0$ gäller för alla $z$ på bågdelen av $\partial A_r$ att:

$\displaystyle |g(z)|=|z+3|\ge r-3$

$\displaystyle |h(z)| \le 2$

Notera sedan att på den överblivande delen av $\partial A_r$ gäller för alla $z$ att

$\displaystyle \left|g\left(z\right)\right| = |i\mathrm{Im}\left(z\right)+3|=\sqrt{\mathrm{Im}^2z+9} \ge 3$

$\displaystyle |h(z)|=|2e^{z}| = 2$

Vi kan alltså dra följande slutsats:

$\displaystyle \exists R>0:\forall r>0:\forall z\in\partial A_r: r\ge R \Longrightarrow |g\left(z\right)| > |h\left(z\right)|$

Fixera $R$ som ovan och definiera ett mycket stort $R^\prime > R$ sådant att alla nollställen till $f$ i VHP garanterat ligger inom $\partial A_{R^\prime}$. Notera att $g$ och $h$ båda är holomorfa på $A_{R^\prime}$ och på randen gäller $|g\left(z\right)| > |h\left(z\right)|$ eftersom $R^\prime > R$. Enligt Rouchés sats har $g$ därför lika många nollställen inom $A_{R^\prime}$ som $g+h$. Om vi löser $g(z)=0$ får vi en lösning $z=-3$, och denna lösning ligger in VHP. Därför har $f=g+h$ exakt en lösning inom VHP.

$\blacksquare$