Komplex analys - tips på att komma igång med identitetspricinpen

Jag har inte alla komplexbegreppet i mitt huvud längre, bara intuitioner om hur jag känner att det borde vara, så jag trampar säkert i klaveret här men är det inte bara något i den här stilen:

Motsägelsebevis:

Antag att f är hel.

Tag de två hela funktionerna g(x) = x och h(x) = -x

f och g är lika på en konvergerande sekvens {1/2^n} så är de lika överallt: f = g

f och h är lika på en konvergerande sekvens {1/3^n} så de är lika överallt: f = h

Via den transitiva egenskapen hos likhet så medgör f = g och f = h att g = h

Men g och h är ju olika. Därmed måste antagandet att f är hel vara falskt.

Slutsats: f är inte hel

Jag har inte bevisat något här eftersom jag inte sagt varför påståendet att f = g och f = h stämmer men detta är en tänkt struktur beviset skulle ha om det går att argumentera att f = g och f = h. Kanske räcker att vi argumenterar om analytiskhet i 0 specifikt.

Hej, tack för svar!

Jag kan svara på min egen fråga nu. och det är likt ditt förslag. Anta att $f$ är hel och definiera

$g\left(z\right)=f\left(z\right)-z$

Eftersom $g(1/2^n) = 0$ för alla positiva heltal $n$ och $\lim a_n=0\in \mathbb{C}$ säger identitetsprincipen att $g\equiv 0$. Alltså måste $f\left(z\right) = z$.

Definiera nu en annan funktion

$\displaystyle h\left(z\right)=f\left(z\right)+z$

Identitetsprincipen ger återigen att $h\equiv 0$, så $f\left(z\right)=-z$. Men det gäller inte för alla $z\in\mathbb{C}$ att $-z=z$, alltså kan båda kraven inte vara sanna samtidigt.