Komplex analys - vad är grejen med komplexa integraler?

Hej!

I vanlig reell analys är en mycket attraktiv tolkning av integralen en summa av många små förändringar. Anta att vi har en funktion $f:[a,b]\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ som är kontinuerlig och har en primitiv funktion $F$ . Anta vidare att vi över $[a,b]$ söker förändringen i $F$ , $\Delta F[a,b]$ , men endast har ett explicit uttryck för $f$ . Intuitivt kan vi dela upp intervallet i väldigt små bitar med längd $dx$ . I så fall ges den förutspådda, linjära förändringen i $F$ , $dF$ , av

$\displaystyle dF=f\left(x\right)dx$

Det gäller också att om $dx$ är litet, kommer $dF\approx \delta F$ , där $\delta F$ betecknar den äkta förändringen i $F$ över det lilla intervallet. Om vi lägger ihop alla dessa små bitar har vi

$\displaystyle \Delta F\left[a,b\right]\approx \sum_{a}^{b}dF = \sum_{a}^{b}f\left(x\right)dx$

De olika valen av $dx$ definierar en familj av approximeringar till $\Delta F[a,b]$ . Gränsvärdet då $dx\to 0$ ger oss då den exakta förändringen.

Jag har nu två relaterade frågor, där den ena är mer matematisk än andra:

Vad är motiveringen bakom den komplexa integralen? Kan den ges samma eller en liknande intuition som den "vanliga", reella integralen?
Varför ska vi ens bry oss om komplexa integraler utanför ren matematik? Finns det någon fysikalisk motivering till att vi behöver ett sådant objekt?

Riemann/Darboroux-definitionen av en komplex integral är i praktiken identisk med den reella integralen

$\lim \sum f(z) \Delta z$

så matematiskt är motivationen för integralen att det går och inte är så komplicerat att definiera. Så vitt jag vet är Lebesquedefinitionen av komplexvärda integraler lite mer involverad eftersom mått i elementär måttwoei är reellvärda men det är mer av en matematikgrej.

Varför komplexexa integraler används har att göra med essensen i det här gamla citatet

It has been written that the shortest and best way between two truths of the real domain often passes through the imaginary one. (Hadamar, 1945)

Komplex analys innehåller en massa satser som gör att en hel del reel-värda problem blir lösbara om de ses som problem som existerar i komplexa talplanet.

De klassiska exemplen är att en del generaliserade integraler (från -inf till +inf) som inte går att lösa med primitiva funktioner och partiell integration istället kan lösas genom att se dem som integraler i komplexa talplanet. Se: https://en.wikipedia.org/wiki/Contour_integration#Applications_of_integral_theorems . I praktiken är detta inte väldens viktigaste men de har historisk signifikans och dyker upp. När man exempelvis löser Helmholtzekvationen med hjälp av fouriertransformen så får man en integral som lättast utvärderas med konturintegraler.

Inom ingengörssfären så återfinns komplexa integraler främst inom kontrollteori, dvs balansering och styrning av dynamiska system med styrsignaler, exempelvis kontrollen av en robotarm, beskrivits med hjälp av kurvor i komplexa talplanet.

Att många av dessa saker beskrivs med komplexa tal är dock effektivt rester från en tid där tillgången till datorer var mindre omfattande där komplex analys kan göra problem i elektronik och flödesdynamik mer symboliska och grafiska vilket möjliggjorde symbolisk eller grafisk lösning -- något som är mindre kritiskt idag. På teknisk fysik var komplex analys exemelvis en obligatorisk kurs på 2010-talet men nu är den istället valfri till fördel för att algebra/linjär algebra uttökats då linjär algebra som har intimare koppling till numeriska system.

Hej, tack för svar!

Förstår jag dig rätt, ur ett ingenjörsperspektiv, i att komplexa integraler har blivit så vanliga som ett slags "trick"? Det vill säga, man skulle strikt sett inte behöva dem nuförtiden (vi kan integrera svåra integraler numeriskt), men att de ger oss ett sätt att hitta slutna formler för integraler som inte går att lösa med vanliga metoder?

Vad gäller definitionen: om vi konstruerar den komplexa integralen på samma sätt som Darbouxintegralen, kan vi också "tolka" integralen på samma sätt som vi skulle tolka Darbouxintegralen? Det vill säga, som en slags kumulativ förändring i en funktion över en bana i planet?

Jag skulle inte säga att konturintegraler är mer trick än någon annan typ av matematik men ingejörers verktygslådor var helt enkelt mindre i början av 1900talet än idag så klassisk ingenjörslitteratur har mycket mycket mer komplex analys än modern mest för att fler timmar behöver läggas på att lära sig simulering och i prioriteringen har den komplexa verktygslådan blivit mindre kritisk.

Går du till ett bibliotek kan du hitta massa gamla böcker som alla bara handlar om att modellera diverse fysikfält med komplexa tal och lösa problem. Nyckelord att uppmärksamam är konforma avbildningar, conformal mapping. De stämmer alla fortfarande men är mindre populära. Ett exempel är Kutta–Joukowski theorem för att bestämma lyftkraften på en vinge.

....

Tolkningen av komplexa integraler kompliceras alltid av att talen har fas där multiplikation medför fasvridning, men med viss reservation gäller integralkalkylens fundamentalsats så länge funktionen saknar singulariteter i talplanet. Jag skriver detta då integralkalkylens fundamentalsats för mig är ett resultat ava tt reella integraler är kumulativ förändring. Om funktionen har singulariteter, även utanför kurva utefter vilken integralen sker, ja då blir faseffekternas inverkan på resultatet mindre analoga med reell analys.

På teknisk fysik var komplex analys exemelvis en obligatorisk kurs på 2010-talet men nu är den istället valfri till fördel för att algebra/linjär algebra uttökats då linjär algebra som har intimare koppling till numeriska system.

På Chalmers har den varit obligatorisk fram tills nu. I nästa iteration av programplanen ska den förmodligen dock tas bort.

Svara

Visa senaste svar