Komplex analys - vad är grejen med komplexa integraler?

Hej!

I vanlig reell analys är en mycket attraktiv tolkning av integralen en summa av många små förändringar. Anta att vi har en funktion $f:[a,b]\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ som är kontinuerlig och har en primitiv funktion $F$. Anta vidare att vi över $[a,b]$ söker förändringen i $F$, $\Delta F[a,b]$, men endast har ett explicit uttryck för $f$. Intuitivt kan vi dela upp intervallet i väldigt små bitar med längd $dx$. I så fall ges den förutspådda, linjära förändringen i $F$, $dF$, av

$\displaystyle dF=f\left(x\right)dx$

Det gäller också att om $dx$ är litet, kommer $dF\approx \delta F$, där $\delta F$ betecknar den äkta förändringen i $F$ över det lilla intervallet. Om vi lägger ihop alla dessa små bitar har vi

$\displaystyle \Delta F\left[a,b\right]\approx \sum_{a}^{b}dF = \sum_{a}^{b}f\left(x\right)dx$

De olika valen av $dx$ definierar en familj av approximeringar till $\Delta F[a,b]$. Gränsvärdet då $dx\to 0$ ger oss då den exakta förändringen.

Jag har nu två relaterade frågor, där den ena är mer matematisk än andra:

• Vad är motiveringen bakom den komplexa integralen? Kan den ges samma eller en liknande intuition som den "vanliga", reella integralen?
• Varför ska vi ens bry oss om komplexa integraler utanför ren matematik? Finns det någon fysikalisk motivering till att vi behöver ett sådant objekt?