Komplex analys -- vad i hypotesen har man använt för att dra dessa slutsatser?

Hej!

Jag håller på att läsa beviset till Cauchys integralsats i version 1.54 av A First Course in Complex Analysis av Beck et al. Satsen och dess tillhörande bevis framgår nedan:

Jag försöker förstå riktningen

$\displaystyle \mathrm{Int}\left(\gamma\right)\subseteq G\Longrightarrow \gamma \sim_{G} 0$

Jag tycker att det låter ganska rimligt att det borde vara så här, men jag förstår inte vad de sysslar med i beviset. Vi vet enligt antagande att insidan av $\gamma$ ligger i $G$. Då kan vi förstås ta en punkt $w$ som ligger inom insidan av $\gamma$ och skapa en stängd disk $\bar{D}[w, R]$. Denna disk har också en rand $\partial \bar{D}[w, R]=C[w,R]$. Men sedan tappar de mig fullständigt. Varför måste $\gamma$ därför vara $G$-homotop med randen till disken, och varför är denna $G$-kontraherbar??

Jag fattar inte vad ur hypotesen som de har använt. Det känns bara som om de påstår saker och sedan går vidare för att det är "obvious". Tja, inte för mig! 

Hjälp uppskattas.

EDIT: och dessutom: bevisar de ens sats. 4.27 här eller bevisar de enbart propositionen? Jag hittar inget ytterligare om satsen i boken...