Komplex analys -- varför vill vi visa att A_r går mot noll?

Hej!

Jag håller på att lära mig beviset för en variant av Cauchys integralformel som jag formulerar nedan:

Låt $f$ holomorf på en öppen mängd $G\subseteq \mathbb{C}$ sådan att $\bar{D}[a, R]\subseteq G$ . Då gäller för alla $0 < r \le R$ att

$\displaystyle f\left(a\right)=\frac{1}{2\pi i}\int_{C[a,r]}\frac{f\left(z\right)}{z-a}dz$

Beviset jag följer bifogas nedan. Det jag inte förstår i beviset är påståendet om att $A_r \to 0$ då $r \to 0$ innebär att $A_r \equiv 0$ . Cauchys sats säger ju att två integraler är lika över tillräckligt trevliga områden $\gamma_1$ och $\gamma_2$ om dessa är homotopa inom området. Två cirklar $C[a,r_1]$ och $C[a,r_2]$ för $r_1,r_2\in (0, R]$ kommer såklart alltid att vara homotopa inom $G\setminus \{a\}$ . Men jag förstår inte vad Cauchys sats har med gränsvärden att göra. Gränsvärdet då $r\to 0$ ger ju inte en integral över en relevant kurva; kurvan som definieras av " $C[a,0]$ " ligger ju inte ens i $G\setminus \{a\}$ !

Oj, nu tror jag att poletten trillade ned.

Eftersom $A_r$ är en konstant funktion (Cauchys sats), och en konstant funktion har sig själv som gränsvärde i alla punkter där gränsvärdet existerar (punkten måste inte ingå i domänen till $A_r$ ), så kan vi använda gränsvärdet som ett sätt att bestämma vilken konstant den är lika med?

Ännu en fråga om bevset: för att tillämpa Cauchys sats kräver vi väl att den aktuella mängden är en region, inte enbart en öppen mängd? Under hypotesen som satsen bevisas under är ju $G\setminus \{a\}$ enbart öppen...

Är denna här kursen verkligen flervariabelsanalys? Jäklar vad svår den ser ut!! Det ser ut som en kurs på masternivå eller liknande. Ursäkta att jag frågar! Jag var bara nyfiken.

Komplex analys i en variabel brukar räknas som en särskild kurs. Den har avsevärda tillämpningar i fysik. (T ex kan man här ta fram villkor för s k konservativa kraftfält (i två dim) mha Cauchys integralsats.) Det Naytte håller på med här är Cauchys integralformel, som följer ganska direkt av integralsatsen. Mina kunskaper på området har inte åldrats särskilt väl på de snart gångna 60 åren, varför jag får nöja med att observera när Naytte våndas.

@Fysiker19, nej, detta är inte en kurs i flervariabelanalys. Saken är bara den att det inte finns någon kategori för komplex analys, så jag valde den närmsta som finns.

Däremot är det ingen masterkurs; det är en kurs man läser under sin kandidat på många tekniska utbildningar.

Svara

Visa senaste svar