Komplex analys -- varför vill vi visa att A_r går mot noll?

Hej!

Jag håller på att lära mig beviset för en variant av Cauchys integralformel som jag formulerar nedan:

Låt $f$ holomorf på en öppen mängd $G\subseteq \mathbb{C}$ sådan att $\bar{D}[a, R]\subseteq G$. Då gäller för alla $0 < r \le R$ att

$\displaystyle f\left(a\right)=\frac{1}{2\pi i}\int_{C[a,r]}\frac{f\left(z\right)}{z-a}dz$

Beviset jag följer bifogas nedan. Det jag inte förstår i beviset är påståendet om att $A_r \ to 0$ då $r\to 0$ innebär att $A_r \equiv 0$. Cauchys sats säger ju att två integraler är lika över tillräckligt trevliga områden $\gamma_1$ och $\gamma_2$ om dessa är homotopa inom området. Två cirklar $C[a,r_1]$ och $C[a,r_2]$ för $r_1,r_2\in (0, R]$ kommer såklart alltid att vara homotopa inom $G\setminus \{a\}$. Men jag förstår inte vad Cauchys sats har med gränsvärden att göra. Gränsvärdet då $r\to 0$ ger ju inte en integral över en relevant kurva; kurvan som definieras av "$C[a,0]$" ligger ju inte ens i $G\setminus \{a\}$!