7 svar
208 visningar
Louiger är nöjd med hjälpen
Louiger 514
Postad: 9 dec 2018 13:05

Komplexa tal

z^4-2z^3+12z^2-14z+35=0 Har en rot med realdelen 1. Lös ekvationen fullständigt.

(Det är ingen inlämningsuppgift och jag har svaren, jag vill bara förstå)

Jag tänker att frågan innebär att jag vet att en lösning är 1+-bi. Isf borde det gå att lösa ut bi genom att sätta in tex 1+bi ist för z. Alt som jag gjorde sätta a+bi ist för z, lösa ekv och sen sätta in 1 ist för a. Men när jag gjorde det blir b+-1 för imaginärdelen vilket inte löser realdelen eller ekvationen vilket den borde, vad gör jag för fel?!?

Bifogar bild. 

Affe Jkpg 6796
Postad: 9 dec 2018 14:06

Hur kul är att riskera nackspärr för att läsa din bild?

Louiger 514
Postad: 9 dec 2018 15:44
Affe Jkpg skrev:

Hur kul är att riskera nackspärr för att läsa din bild?

Rotera mobilen utan rotationsfunktionen på så hamnar bilden rätt. 

woozah 1465
Postad: 9 dec 2018 15:51
Affe Jkpg skrev:

Hur kul är att riskera nackspärr för att läsa din bild?

 

Jag ser att du inte är en problemlösare jag... Jag fixade detta på några sekunder bara. 

Jag försökte stänga av rotera-funktionen men det verkade inte finnas någon. 

AlvinB 3987
Postad: 9 dec 2018 16:05 Redigerad: 9 dec 2018 16:40

Om man inte ids eller har möjlighet att vända på hela datorskärmen rekommenderar jag Chrome-tillägget 'Flip this':

https://chrome.google.com/webstore/detail/flip-this/donljlliiecjcagcenoeohjmabfegkph

EDIT: Men för att besvara den faktiska matematiken:

Din metod går säkert att använda men jag tycker den är lite väl krånglig. Ett alternativ kan vara att resonera så här:

Eftersom 1+bi1+bi och 1-bi1-bi är en rot kommer (z-(1+bi))(z-(1-bi))=...=z2-2z+1+b2(z-(1+bi))(z-(1-bi))=...=z^2-2z+1+b^2 att vara en faktor till polynomet. Om vi delar polynomet med detta borde vi alltså får resten noll.

Polynomdivision ger:

z4-2z3+12z2-14z+35z2-2z+1+b2=z2+11-b2+8z-2b2z+24-10b2+b4z2-2z+1+b2\dfrac{z^4-2z^3+12z^2-14z+35}{z^2-2z+1+b^2}=z^2+11-b^2+\dfrac{8z-2b^2z+24-10b^2+b^4}{z^2-2z+1+b^2}

Eftersom divisionen skall gå jämnt upp måste resttermen bli noll:

8z-2b2z+24-10b2+b4z2-2z+1+b2=08z-2b2z+24-10b2+b4=0\dfrac{8z-2b^2z+24-10b^2+b^4}{z^2-2z+1+b^2}=0\Rightarrow8z-2b^2z+24-10b^2+b^4=0

Kan du bestämma bb så att resttermen alltid blir noll?

Bubo 2974
Postad: 9 dec 2018 16:37 Redigerad: 9 dec 2018 16:39

Ja, de flesta rättar till en roterad bild kvickt och enkelt.

En del av oss andra klickar helt enkelt vidare till någon annan fråga.

Laguna 14525
Postad: 9 dec 2018 18:45

Så här gör jag: om 1 + bi är en rot så är 1 - bi också en rot (och det har du kanske redan uttryckt med +-bi). Då är två faktorer i polynomet (z - 1 - bi) och (z - 1 + bi). Om vi multiplicerar dessa får vi ett reellt polynom z^2 - 2z + 1 + b^2. Den konstanta termen kan få heta a i stället: z^2 - 2z + a. Nu måste det stora polynomet kunna skrivas som produkten av z^2 - 2z + a och något annat andragradspolynom: (z^2 - 2z + a)(z^2 + cz + d). Multiplicera ihop och identifiera termer med samma exponent. Det visar sig att det går lätt att få fram a, c och d. Då kan vi hitta alla nollställen med pq-metoden för de båda andragradspolynomen.

Louiger 514
Postad: 10 dec 2018 17:34
Laguna skrev:

Så här gör jag: om 1 + bi är en rot så är 1 - bi också en rot (och det har du kanske redan uttryckt med +-bi). Då är två faktorer i polynomet (z - 1 - bi) och (z - 1 + bi). Om vi multiplicerar dessa får vi ett reellt polynom z^2 - 2z + 1 + b^2. Den konstanta termen kan få heta a i stället: z^2 - 2z + a. Nu måste det stora polynomet kunna skrivas som produkten av z^2 - 2z + a och något annat andragradspolynom: (z^2 - 2z + a)(z^2 + cz + d). Multiplicera ihop och identifiera termer med samma exponent. Det visar sig att det går lätt att få fram a, c och d. Då kan vi hitta alla nollställen med pq-metoden för de båda andragradspolynomen.

 Tack än en gång för hjälpen, att substituera 1+bi med a underlättade massor! Jag såg vad jag själv gjort för fel från början då jag enbart använt biominalsatsen på z^4, men insåg att de var väldigt krångligt som jag tänkt lösa det även om de hypotetisk var möjligt.

Svara Avbryt
Close