6 svar
85 visningar
isabell 2
Postad: 30 maj 2019 Redigerad: 30 maj 2019

Komplexa tal

Behöver hjälp med följande uppgift:

"Förenkla uttrycket (1-i)*(2-i)*(1+i)*(2+i) så långt som möjligt"

Förstår att jag måste ta varje parentes var för sig. Problemet är att jag får fel svar, antagligen på grund av teckenfel eller liknande. 

Hur löser man uppgiften korrekt?  

AlvinB 3213
Postad: 30 maj 2019

Jag skulle utnyttja konjugatregeln:

(1-i)(2-i)(1+i)(2+i)=(1-i)(1+i)(2-i)(2+i)=(12-i2)(22-i2)=...(1-i)(2-i)(1+i)(2+i)=(1-i)(1+i)(2-i)(2+i)=(1^2-i^2)(2^2-i^2)=...

Yngve 12069 – Mattecentrum-volontär
Postad: 30 maj 2019 Redigerad: 30 maj 2019

Ett annat alternativ är att skriva alla faktorer på polär form, helst exponentiell polär form:

1-i=z1=r1eiv11-i=z_1=r_1e^{iv_1}

2-i=z2=r2eiv22-i=z_2=r_2e^{iv_2}

1+i=z3=r3eiv31+i=z_3=r_3e^{iv_3}

2+i=z4=r4eiv42+i=z_4=r_4e^{iv_4}

Vi kan nu konstatera att z1z_1 och z3z_3 respektive z2z_2 och z4z_4 är varandras komplexkonjugat.

Det betyder att

r3=r1r_3=r_1

r4=r2r_4=r_2

v3=-v1v_3=-v_1

v4=-v2v_4=-v_2

Produkten kan alltså skrivas (r1)2(r2)2ev1+v2-v1-v2=...(r_1)^2(r_2)^2e^{v_1+v_2-v_1-v_2}=...

Affe Jkpg 4812
Postad: 30 maj 2019

Ett alternativ till Yngves skrivsätt:

När man multiplicerar fyra komplexa tal, multiplicerar man deras belopp och summerar deras vinklar.

(2-α)*(5-β)*(2α)*(5β)=(2)2*(5)2α-α+β-β=100=10

Yngve skrev:

...

Produkten kan alltså skrivas (r1)2(r2)2ev1+v2-v1-v2=...(r_1)^2(r_2)^2e^{v_1+v_2-v_1-v_2}=...

Ser att jag missade ett i i exponenten. Det ska vara (r1)2(r2)2ei(v1+v2-v1-v2)(r_1)^2(r_2)^2e^{i(v_1+v_2-v_1-v_2)}

isabell 2
Postad: 31 maj 2019
AlvinB skrev:

Jag skulle utnyttja konjugatregeln:

(1-i)(2-i)(1+i)(2+i)=(1-i)(1+i)(2-i)(2+i)=(12-i2)(22-i2)=...(1-i)(2-i)(1+i)(2+i)=(1-i)(1+i)(2-i)(2+i)=(1^2-i^2)(2^2-i^2)=...

Men borde det inte blir positiva tal i båda parenteserna på slutet eftersom i^2=-1?

AlvinB 3213
Postad: 31 maj 2019

I steget efter det jag skrev blir det mycket riktigt positiva tal eftersom i2=-1i^2=-1 och minus minus blir plus:

(12-i2)(22-i2)=(1-(-1))(4-(-1))=(1+1)(4+1)(1^2-i^2)(2^2-i^2)=(1-(-1))(4-(-1))=(1+1)(4+1)

Svara Avbryt
Close