Komplexa talplanet

Avståndet från z till 1 är dubbelt så långt som avståndet från z till -1.

Lättast är nog att sätta in z=a+bi i likheten och ge sig på att lösa ekvationen. Beloppet |z-1| är alltså |a-1+bi|, vilket är $\sqrt{(a-1)^2 + b^2}$, och så motsvarande i högerledet.

Hej,

Ekvationen kan skrivas

    $\displaystyle\left|\frac{(z+1)-2}{z+1}\right|=2 \Longleftrightarrow |w-1|=2$

där $w=\frac{2}{z+1}$. Punkten $w$ ligger på cirkel med centrum i $1+i0$ och radie $2$, vilket motsvaras av att punkten $z$ ligger ...

Albiki skrev:

Hej,

Ekvationen kan skrivas

    $\displaystyle\left|\frac{(z+1)-2}{z+1}\right|=2 \Longleftrightarrow |w-1|=2$

Hej! Förstår inte riktigt hur du får ekvationen. Antar att du delar båda led med $\left|z+1\right|$, men hur utvecklar/förlänger du sen?

Skaft skrev:

Lättast är nog att sätta in z=a+bi i likheten och ge sig på att lösa ekvationen. Beloppet |z-1| är alltså |a-1+bi|, vilket är $\sqrt{(a-1)^2 + b^2}$, och så motsvarande i högerledet.

Testade detta, men vet ej riktigt hur jag ska tolka det. 

$$\begin{gathered} VL: \\ \left|z-1\right|=\left|a-1+bi\right|=\sqrt{{(a-1)}^2+b^2}=\sqrt{a^2-2a+1+b^2} \\ HL: \\ 2\left|z+1\right|=2\left|a+1+bi\right|=2\sqrt{{(a+1)}^2+b^2}=2\sqrt{a^2+2a+1+b^2} \\ VL=HL \\ \sqrt{a^2-2a+1+b^2}=2\sqrt{a^2+2a+1+b^2} \\ {a}^2-2a+1+b^2=4(a^2+2a+1+b^2) \\ {a}^2-2a+1+b^2=4a^2+8a+4+4b^2 \end{gathered}$$

Men vad betyder egentligen detta? Hur ska jag tolka det?

SK

Det är ett samband mellan real- och imaginärdel på ditt tal z. Du kan t.ex. lösa ut b, för att få en funktion för imaginärdelen som beror på realdelen.

Man kan också notera att a och b inte "blandas" (det finns ingen ab-term), och därför kan de kvadratkompletteras separat. Du kan därför få ekvationen på formen x² ± y² = konstant. Det är den form som cirklar, ellipser, hyperbler har. Svårare att se, men det är en väg att gå.