17 svar

187 visningar

ConnyN är nöjd med hjälpen

Kongruens (mod 9)

Jag förstår inte förklaringen till denna uppgift:

Eftersom vi har modulo 9 så provar jag att dela 1000, 100, 10 och 1 med 9 och alla har rest 1, vilket jag inte har någon nytta av att veta. 999,99 förstår jag inte vad de får ifrån?
Deras avslutningskläm med "Så om summan A+B+C+D är delbar med 9, så är även ABCD det." är inga problem för mig. Det är allmän grundkunskap så visst gäller det, men hur ser man sambandet med deras exempel?

"999, 99" är inte ett tal, det är 999, sedan ett vanligt komma, sedan 99. De säger alltså något om de tre talen 999 och 99 och 9.

Aha. Ja ibland är det som att leta i skafferiet efter något. Fast det står mitt framför ögonen på en, så söker blicken föremålet längre in där det brukar stå.
Men hur tänker de då? Om vi har 1000 *999 så kan vi dela 1000 med 9 och få rest 1. Vi delar 999 med 9 och får rest 0. 1 * 0 = 0 och?
Idag är det trögt i mitt hjärnkontor tydligen, men jag är tacksam om ni orkar hjälpa mig!

Tillägg: 27 apr 2023 09:34

Om vi tar ett exempel 4761 = 1000*4 + 100*7 + 10*6 + 1*1 = 4761 som är kongruent med A + B + C + D
Det är lätt att förstå, men hur kommer 999, 99 och 9 in i bilden?

Tillägg: 27 apr 2023 09:50

Det blir samma sak med 4762 trots att det inte är delbart med 9?

Jag är inte med på var förvirringen ligger.

Ett fyrsiffrigt tal kan generellt uttryckas som:

1000A+100B+10C+D, det är du nog med på.

Om du nu tar 1000 mod 9 får du 1, om du tar 100 mod 9 får du 1, om du tar 10 mod 9 får du 1.

Eller om du föredrar:

1000A+100B+10C+D=(9*111+1)A+(9*11+1)B+(9*1+1)C+D

Det är alltså kongruent med A+B+C+D, varvid vi har visat det vi skulle visa.

Tänk på att:

1000A = 999A + A

100B = 99B + B

10C = 9C + C

D = 0 + D

Vi vet att 999A, 99A, och 9A är delbart med 9, så om A+B+C+D är och också delbart med 9, så är även ABCD det, hänger du med?

Om vi tar ditt exempel 4761:

4000 = 4*999 + 4

700 = 7*999 + 7

60 = 6*9 + 6

1 = 0 + 1

4+7+6+1 = 18 = 2*9

Tråden flyttad från Matte 5 till Matte 5/Kongruensräkning. /admin

Sideeg skrev:
Om vi tar ditt exempel 4761:

4000 = 4*999 + 4

700 = 7*999 + 7

60 = 6*9 + 6

1 = 0 + 1

4+7+6+1 = 18 = 2*9

Om vi tar 4762

4000 = 4*999 + 4

700 = 7*999 + 7

60 = 6*9 + 6

2 = 0 +2

Jag ser inte att det här bevisar någonting mer än att man kan dela upp talet i tusental, hundratal, tiotal och ental.

Om vi tittar på ditt sista steg 4+7+6+1 = 18 = 2*9 så är det vad vi ska bevisa, men då måste vi också kunna bevisa när det inte stämmer med kongruensräkning är väl tanken?

Jag brukar att bli trött själv när eleven inte förstår något som jag tycker är självklart, men nu sitter jag verkligen i den sitsen själv. 😵🥴

Dracaena skrev:
Jag är inte med på var förvirringen ligger.

Ett fyrsiffrigt tal kan generellt uttryckas som:

1000A+100B+10C+D, det är du nog med på.

Om du nu tar 1000 mod 9 får du 1, om du tar 100 mod 9 får du 1, om du tar 10 mod 9 får du 1.

Eller om du föredrar:

1000A+100B+10C+D=(9*111+1)A+(9*11+1)B+(9*1+1)C+D

Det är alltså kongruent med A+B+C+D, varvid vi har visat det vi skulle visa.

Om vi tittar på 4762 som jag har som exempel, så kan vi med samma exempel visa att 4762 är kongruent med 4762. Att A+B+C+D är delbart med 9 är ju regeln vi ska bevisa, men att 4+7+6+2 = 19 och ej delbart med 9 är ju en känd gammal regel och bevisas inte av ditt exempel? OK jag tror att jag börjar ana något här, men jag behöver ytterligare hjälp för att gå i mål.
Min frågeställning just nu, är 4762 delbart med 9? Det är det ju inte, men hur bevisar jag det i modulo 9 med hjälp av kongruensräkning?

Syftet med uppgiften ser ut att vara att bevisa den gamla kända regeln.

Laguna skrev:
Syftet med uppgiften ser ut att vara att bevisa den gamla kända regeln.

Ja och det verkar inte deras bevis att göra eftersom jag inte har några problem med ett tal som inte är delbart med nio vid användande av dera bevis?

Menar du att regeln inte fungerar, eller att beviset för regeln inte fungerar? Om delbarhet med 9 är ekvivalent med siffersummans delbarhet med 9 så är väl allt bra?

Håller med, det förvirrar lite!
Men åter igen vad jag uppfattar är att man ska dela upp talet till olika tal såhär:

ABCD = (999A+ A) + (99B + B) + (9C + C) + D = 999A + 99B + 9C + A + B + C + D

Titta på de första tre termer 999A + 99B + 9C, de är delbart med 9, eller hur?!
Så om summan av de sista fyra termerna (A+B+C+D) också delbart med 9 kan vi säga att ABCD är delbart med 9 eftersom vi kan skriva

ABCD = 999A + 99B + 9C + 9K, där 9K = (A+B+C+D), vilket leder till

$A B C D \equiv 9 K (m o d 9)$

$\Rightarrow A B C D \equiv A + B + C + D (m o d 9)$

Därför ABCD är delbart med 9, bara om A + B + C + D är delbart med 9.

Hoppas det hjälper!

Hmmm... nu börjar poletten falla ned.

Är 4762 delbart med 9? 1000*4 + 100*7 + 10*6 +2 = (9*111 +1)4 + (9*11 + 1)7 +(9*1 + 1)6 +2 $≢$ 19 (mod 9)

Är 4761 delbart med 9? 1000*4 + 100*7 + 10*6 +2 = (9*111 +1)4 + (9*11 + 1)7 +(9*1 + 1)6 +1 ≡18 (mod 9)

Det tar nog en stund till för mig att koppla detta. Att det är ett säkert bevis för deras påstående.

Tack alla för ert tålamod med mig.

Det stora krutet vi har är att vi kan visa att för alla fyrsiffriga tal, så gäller det att:

$(1000A + 100B + 10C + D) = A+B+C+D \mod 9$

Om vi nu vill veta om talet 6531 är delbart med 9, så behöver vi inte försöka utföra divisionen 6531/9.

Vi vet ju redan att resten mod 9 är A+B+C+D, och skulle det visa sig att A+B+C+D mod 9 = 0, ja, då vet vi att 6531 är delbart med 9. Låt oss prova:

6+5+3+1=15, men 15 är inte delbart med 9, varav 6531 är inte heller delbart med 9.

Notera att det inte finns något som begränsar oss till fyrsiffriga tal. Du hade kunnat göra samma sak för ett femsiffrigt tal:

(9*1111+1)A+(9*111+1)B + (9*11+1)C + (9*1+1)D + E = A+B+C+D+E mod 9.

En frivillig utmaning för att testa din förståelse:

Visa att ett sexsiffrigt tal alltid är delbart med 3, om talets siffersumma är delbar med 3.

Tack!

Det låter spännande 🧐 😀

Nu har jag äntligen haft lite tid för djupare funderingar.

Dracaenas extrauppgift åt mig:
Visa att ett sexsiffrigt tal alltid är delbart med 3, om talets siffersumma är delbar med 3.

$A B C D E F = 100 000 \cdot A + 10 000 \cdot B + 1 000 \cdot C + 100 \cdot D + 10 \cdot E + 1 \cdot F \equiv A + B + C + D + E + F$

I modulo 3 är alla $10^{n} \equiv 1$ eftersom $\frac{10^{n}}{3} = k r e s t 1$ , där n är ett naturligt heltal och k är kvot.

Exempelvis $\frac{1000}{3} = 333 r e s t 1$ och $\frac{10^{0}}{3} = \frac{1}{3} = 0 r e s t 1 .$

Kan det vara en bra förklaring?

Jag tycker iaf det ser bra ut. :)

Känner du att du hänger med nu på varför det fungerar eller är det bara tänket bakom lösandet av uppgiften du begriper?

Dracaena skrev:
Jag tycker iaf det ser bra ut. :)

Känner du att du hänger med nu på varför det fungerar eller är det bara tänket bakom lösandet av uppgiften du begriper?

Det var därför svaret dröjde. Lösningen kom ganska fort, men varför det fungerade fastnade jag på. Nu tycker jag att jag är med, även på själva beviset. Det är svårt med bevis där det man ska bevisa är mer förståeligt än själva beviset. Om ett tals siffersumma är delbar med 3 så är talet delbart med tre, tror jag att jag fick lära mig i femte eller sjätte klass, så det känns väldigt naturligt. Beviset däremot kändes otroligt krystat för mig.

Stort tack till dig Dracaena och även till Sideeg som lyckades vända in mig på rätt spår.
Edit: Tog bort en kommentar av mig som var felaktig.

Svara Avbryt

Visa senaste svar