Matte 5 provuppgift

Hej! Har fastnat på ett kongruens problem som lyder

1. Bestäm resten då $123^{45} + 67^{89}$ divideras med 11.

Jag har fattat att $123^{45} + 67^{89} \equiv 2^{45} + 1^{89}$ men därefter vet jag inte vad jag ska göra

$1^{89} \equiv 1$ eftersom (k*11+1)*(l*11+1) = (k*l+k+l)*11+1

Det är lite mer komplicerat med 2:

$2^{1} \equiv 2 2^{2} \equiv 4 2^{3} \equiv 8 2^{4} \equiv 5 . . . 2^{45} \equiv ?$

$2^{45} = {(2^{5})}^{9} = 32^{9}$ och 32 är bra för att det är ett steg från 33 som ju är delbart med 11.

märk att $32 \equiv - 1 (m o d 11)$
$2^{45} = 32^{9} \equiv {(- 1)}^{9} (m o d 11) = - 1 (m o d 11) \equiv 10 (m o d 11)$

Så för att sammanfatta blir det

$1 + 10 (m o d 11) = 0 ?$

korrekt

Svara Avbryt