26 svar

3652 visningar

Konjugatet ? Vad betyder det egentligen?

$S a t t o c h f ö r s ö k t e k o m m a p å v a d k o n j u g a t e g e n t l i g e n b e t y d e r . S å h ä r t ä n k e r j a g, k a n n å g o n r ä t t a m i g o m j a g t ä n k e r f e l t a c k . (a + b) = (a + b) J a, o m m a n t a r d e t t a^{2} s å g e r d e t a^{2} + 2 (a b) + b^{2} M e n k o n j u g a t e t t i l l (a + b) ä r (a + b) = (a - b) D e t m a n h a r g j o r t n u ä r a t t g å f r å n a^{2} + 2 (a b) + b^{2} t i l l a^{2} - b^{2}, m i t t e n t e r m e n h a r f ö r s v u n n i t O C H d e n s i s t a t e r m e n b y t t e f r å n p l u s t i l l m i n u s . Ä r d e t s å m a n g ö r ? A l l t s å m a n t a r b o r t d e n d ä r m i t t e n g r e j e n, m a n v i l l b a r a m u l t i p l i c e r a f ö l j a n d e n ä r n å g o t ä r u p p h ö j t t i l l 2 (a,) (a,) + (, b) (, b) M a n v i l l h a d e t s å a l l t s å ?$

$Z = 2 i - 3 (2 i - 3)^{2} = 4 i^{2} - 2 (6 i) + 9 \bar{z} = - 3 - 2 i (- 3 - 2 i)^{2} = 9 + 2 (6 i) + 4 i^{2} S e r i n t e r i k t i g t s a m m a s a m b a n d h ä r s o m j a g g j r o d e n y s s ? ? H u r f u n g e r a r d e t e g e n t l i g e n, h u r s k a m a n t ä n k a . F i n n s d e t b ä t t r e k n e p f ö r a t t l ä t t k u n n a r ä k n a u t k o n j u g a t e t ?$

Det är egentligen två begrepp, ett inom algebra och ett inom komplexa tal, se Wikipedia: https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Konjugat_(algebra)

tomast80 skrev :
Det är egentligen två begrepp, ett inom algebra och ett inom komplexa tal, se Wikipedia: https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Konjugat_(algebra)

Förstår inte riktigt.

MattePapput skrev :
tomast80 skrev :
Det är egentligen två begrepp, ett inom algebra och ett inom komplexa tal, se Wikipedia: https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Konjugat_(algebra)
Förstår inte riktigt.

Läste du definitionerna?

Ett binom är ett polynom med två termer och det kan generellt skrivas a + b.

Ett konjugat bildas när en av termerna i binomet byter tecken.

Alla binom har alltså två konjugat.

Binomet (a + b) har konjugaten (a - b) och (-a + b).

Om en av termerna är rent imaginär, dvs om till exempel termen b i binomet a + b är ett rent imaginärt tal så har det komplexa talet (binomet) a + b komplexkonjugatet a - b. Dvs ett komplext tal har endast ett komplexkonjugat.

Exempel:

Om x och y är reella tal:

(x + y) har konjugaten (x - y) och (-x + y)

(x + yi) har komplexkonjugatet (x - yi)

Men man brukar lite slarvigt kalla komplexkonjugat för enbart konjugat.

Yngve skrev :
MattePapput skrev :
tomast80 skrev :
Det är egentligen två begrepp, ett inom algebra och ett inom komplexa tal, se Wikipedia: https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Konjugat_(algebra)
Förstår inte riktigt.
Läste du definitionerna?
Ett binom är ett polynom med två termer och det kan generellt skrivas a + b.
Ett konjugat bildas när en av termerna i binomet byter tecken.
Alla binom har alltså två konjugat.
Binomet (a + b) har konjugaten (a - b) och (-a + b).
Om en av termerna är rent imaginär, dvs om till exempel termen b i binomet a + b är ett rent imaginärt tal så har det komplexa talet (binomet) a + b komplexkonjugatet a - b. Dvs ett komplext tal har endast ett komplexkonjugat.

Exempel:
Om x och y är reella tal:
(x + y) har konjugaten (x - y) och (-x + y)
(x + yi) har komplexkonjugatet (x - yi)
Men man brukar lite slarvigt kalla komplexkonjugat för enbart konjugat.

Så det ända man gör är att byta tecken?

Är väldigt trött, ska nog lägga mig. Jag försöker att förstå mer imorn. Tack.

Eftersom du skriver om kvadrater i ditt exempel så kanske det är så att du blandar ihop konjugatregeln med kvadreringsreglerna?

Kvadreringsreglerna behandlar produkten av två likadana termer:

$(a + b)^{2} = (a + b) (a + b) = a^{2} + a b + a b + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

och

$(a - b)^{2} = (a - b) (a - b) = a^{2} - a b - a b + b^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

Konjugatregeln däremot behandlar produkten av en faktor med dess konjugat, dvs två olika faktorer:

$(a + b) (a - b) = a^{2} - a b + a b - b^{2} = a^{2} - b^{2}$

Ser du skillnaden?

Både kvadreringsreglerna och konjugatregeln fungerar bra såväl på reella som på komplexa tal.

En intressant egenskap när man använder konjugatregeln på komplexa tal är att resultatet blir reellt och lika med kvadraten på det komplexa talets belopp:

Exempel:

Det komplexa talet $z = a + b i$ har komplexkonjugatet $z = a - b i$ .

Med hjälp av konjugatregeln kan vi skriva produkten av dessa komplexa tal som

$z z = (a + b i) (a - b i) = a^{2} - {(b i)}^{2} = a^{2} - b^{2} \cdot (- 1) = a^{2} + b^{2}$

Detta är lika med kvadraten på beloppet av z, dvs ${|z|}^{2}$ .

Hej MattePutte,

Jag läser dina frågor för dom är så himla intressanta och långtänkt. Är ok om jag kommentärar och frågar på?

Yngve, du skriver: Binomet (a + b) har konjugaten (a - b) och (-a + b).

Det kom som en chock måste jag säga, hade aldrig funderat på det tidigare... Används de här konjugaterna för några operationer i algebra, eller är dom bara dekorativa?

Man kan ha nytta av båda t ex när man använder konjugatregeln baklänges. Det är bara det att man "inte vill börja meningen med ett minustecken" som gör att man nästan bara träffar på varianten $a^2-b^2$ , inte $-b^2+a^2$ och därför är det lätt att inte tänka på att det finns två varianter.

Men är (a - b) och (-a + b), alltså (b-a) samma sak?

Daja skrev :
Men är (a - b) och (-a + b), alltså (b-a) samma sak?

Lugn Daja, det är inget magiskt med detta. Det är bara ren och skär grundskolealgebra.

(-a + b) är samma sak som (b - a).

(a - b) är inte samma sak som ovanstående.

Om du anvämder konjugatregeln på (a + b)(a - b) så får du a^2 -ab + ab - b^2 = a^2 - b^2 som väntat.

Om du istället byter plats på faktorernas termer och använder konjugatregeln på (b + a)(-b + a) så får du b(-b) +ba - ab + a^2 = -b^2 + a^2.

Dessa båda uttryck är identiska, vilket är som sig bör.

Yngve skrev :
Eftersom du skriver om kvadrater i ditt exempel så kanske det är så att du blandar ihop konjugatregeln med kvadreringsreglerna?
Kvadreringsreglerna behandlar produkten av två likadana termer:
$(a + b)^{2} = (a + b) (a + b) = a^{2} + a b + a b + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
och
$(a - b)^{2} = (a - b) (a - b) = a^{2} - a b - a b + b^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$
Konjugatregeln däremot behandlar produkten av en faktor med dess konjugat, dvs två olika faktorer:
$(a + b) (a - b) = a^{2} - a b + a b - b^{2} = a^{2} - b^{2}$
Ser du skillnaden?

Både kvadreringsreglerna och konjugatregeln fungerar bra såväl på reella som på komplexa tal.
En intressant egenskap när man använder konjugatregeln på komplexa tal är att resultatet blir reellt och lika med kvadraten på det komplexa talets belopp:
Exempel:
Det komplexa talet $z = a + b i$ har komplexkonjugatet $z = a - b i$ .
Med hjälp av konjugatregeln kan vi skriva produkten av dessa komplexa tal som
$z z = (a + b i) (a - b i) = a^{2} - {(b i)}^{2} = a^{2} - b^{2} \cdot (- 1) = a^{2} + b^{2}$
Detta är lika med kvadraten på beloppet av z, dvs ${|z|}^{2}$ .

Jaa (a+b)(a+b) är samma faktorer, så man ska alltså bara byta tecken på valfri term inom paranteserna för att få det till konjugatet?

Daja skrev :
Hej MattePutte,
Jag läser dina frågor för dom är så himla intressanta och långtänkt. Är ok om jag kommentärar och frågar på?
Yngve, du skriver: Binomet (a + b) har konjugaten (a - b) och (-a + b).
Det kom som en chock måste jag säga, hade aldrig funderat på det tidigare... Används de här konjugaterna för några operationer i algebra, eller är dom bara dekorativa?

Hej, jag heter MattePapput inte MattePutte :)

ja, jag vill förstå matematiken till 100% vill verkligen veta vad jag håller på med arnars är det meningslöst skräp för mig om jag bara ska memorera allting och sedan glömma bort det. Allt blir mer magiskt och intresseväckande när man förstår varför det blir som det blir.

javisst är det okej att du kommenterar.

MattePapput skrev :
Jaa (a+b)(a+b) är samma faktorer, så man ska alltså bara byta tecken på valfri term inom paranteserna för att få det till konjugatet?

Jag är inte riktigt säker på vad du menar. Låt mig försöka förklara hur det ligger till:

För att utveckla produkten (a + b)(a + b) använder du (första) kvadreringsregeln.

Om du byter tecken på valfri term i båda faktorerna så byter du ut varje faktor mot (ett av) dess konjugat, alltså multiplicerar du fortfarande två identiska faktorer med varandra. Det blir då antingen (a - b)(a - b) eller (-a + b)(-a + b). För att utveckla dessa produkter använder du (andra) kvadreringsregeln.

Om du istället byter tecken på en valfri term endast i ena faktorn så multiplicerar du en faktor med dess konjugat. Det blir då (a + b)(a - b) eller (a + b)(-a + b). För att utveckla denna produkt använder du konjugatregeln.

Var det svar på din fråga?

Hoppsan, jag tror jag tänkte pytte lite mammut när jag såg din avatar och blandade ihop namn o bild!

Yngve skrev :
MattePapput skrev :
Jaa (a+b)(a+b) är samma faktorer, så man ska alltså bara byta tecken på valfri term inom paranteserna för att få det till konjugatet?
Jag är inte riktigt säker på vad du menar. Låt mig försöka förklara hur det ligger till:
För att utveckla produkten (a + b)(a + b) använder du (första) kvadreringsregeln.
Om du byter tecken på valfri term i båda faktorerna så byter du ut varje faktor mot (ett av) dess konjugat, alltså multiplicerar du fortfarande två identiska faktorer med varandra. Det blir då antingen (a - b)(a - b) eller (-a + b)(-a + b). För att utveckla dessa produkter använder du (andra) kvadreringsregeln.
Om du istället byter tecken på en valfri term endast i ena faktorn så multiplicerar du en faktor med dess konjugat. Det blir då (a + b)(a - b) eller (a + b)(-a + b). För att utveckla denna produkt använder du konjugatregeln.
Var det svar på din fråga?

Min lärare visade på ett annorlunda sätt. Titta här
Konjugatet är det motsatta y värdet, i kordinatsystemet. Ja nu är det inte ett xy kordinatsystem men det är samma princip även där.

Daja skrev :
Hoppsan, jag tror jag tänkte pytte lite mammut när jag såg din avatar och blandade ihop namn o bild!

Om jag var av kvinnligt kön så skulle jag vara en Mammut men jag är av maskulint kön alltså är jag en Papput.

Haha ok, det låter logisk. Du måste också vara från Göteborg ;)

Den du har ritat är en komplex tal konjugat, Yngve pratade om algebraiska konjugater, som är 2.

@ Yngve: jag ser att det inte är samma sak :). Men går det att använda den här hemliga algebraisk konjugaten för något coolt o trixigt eller .. ?

Daja skrev :
Haha ok, det låter logisk. Du måste också vara från Göteborg ;)
Den du har ritat är en komplex tal konjugat, Yngve pratade om algebraiska konjugater, som är 2.
@ Yngve: jag ser att det inte är samma sak :). Men går det att använda den här hemliga algebraisk konjugaten för något coolt o trixigt eller .. ?

Nix, bor i Östergötland.

MattePapput skrev :

Min lärare visade på ett annorlunda sätt. Titta här
Konjugatet är det motsatta y värdet, i kordinatsystemet. Ja nu är det inte ett xy kordinatsystem men det är samma princip även där.

Det är ingen skillnad mot vad jag har skrivit. Se denna kommentar om komplexa tal och deras (komplex)konjugat.

Ett komplext tal a + bi har alltså ett entydigt komplexkonjugat, nämligen a - bi.

Ett reellt binom (x + y) har däremot flera konjugat, nämligen (x - y) och (-x + y).

Daja skrev :

@ Yngve: jag ser att det inte är samma sak :). Men går det att använda den här hemliga algebraisk konjugaten för något coolt o trixigt eller .. ?

Nej inget jag kommer på direkt.

Yngve skrev :

Ett reellt binom (x + y) har däremot flera konjugat, nämligen (x - y) och (-x + y).

.... Som kan användas i party tricks såsom....?

Edit: sorry jag såg ditt svar nu!

Daja skrev :
Yngve skrev :

Ett reellt binom (x + y) har däremot flera konjugat, nämligen (x - y) och (-x + y).
.... Som kan användas i party tricks såsom....?
Edit: sorry jag såg ditt svar nu!

Jag kommer på ett party tricks med dem! Om du är på en cool fest och får frågan om du kan räkna ut:

$67\cdot 73$ så verkar det väldigt jobbigt först. Men sen tänker du: "Eureka, konjugatregeln!

$67\cdot 73 = (70-3)\cdot (70+3) =$

$70^2-3^2 = 4900-9 = 4891$

och svarar blixtsnabbt $4891$ . Då kommer du framstå som ett mattegeni!

tomast80 skrev :
Daja skrev :
Yngve skrev :

Ett reellt binom (x + y) har däremot flera konjugat, nämligen (x - y) och (-x + y).
.... Som kan användas i party tricks såsom....?
Edit: sorry jag såg ditt svar nu!
Jag kommer på ett party tricks med dem! Om du är på en cool fest och får frågan om du kan räkna ut:
$67\cdot 73$ så verkar det väldigt jobbigt först. Men sen tänker du: "Eureka, konjugatregeln!
$67\cdot 73 = (70-3)\cdot (70+3) =$
$70^2-3^2 = 4900-9 = 4891$
och svarar blixtsnabbt $4891$ . Då kommer du framstå som ett mattegeni!

Javisst, då blir det lätt.

tomast80 skrev :
Daja skrev :
Yngve skrev :

Ett reellt binom (x + y) har däremot flera konjugat, nämligen (x - y) och (-x + y).
.... Som kan användas i party tricks såsom....?
Edit: sorry jag såg ditt svar nu!
Jag kommer på ett party tricks med dem! Om du är på en cool fest och får frågan om du kan räkna ut:
$67\cdot 73$ så verkar det väldigt jobbigt först. Men sen tänker du: "Eureka, konjugatregeln!
$67\cdot 73 = (70-3)\cdot (70+3) =$
$70^2-3^2 = 4900-9 = 4891$
och svarar blixtsnabbt $4891$ . Då kommer du framstå som ett mattegeni!

Coolt, verkligen :)!

Även bra att kunna på olika prov...

Yngve skrev :
MattePapput skrev :
Min lärare visade på ett annorlunda sätt. Titta här
Konjugatet är det motsatta y värdet, i kordinatsystemet. Ja nu är det inte ett xy kordinatsystem men det är samma princip även där.
Det är ingen skillnad mot vad jag har skrivit. Se denna kommentar om komplexa tal och deras (komplex)konjugat.
Ett komplext tal a + bi har alltså ett entydigt komplexkonjugat, nämligen a - bi.
Ett reellt binom (x + y) har däremot flera konjugat, nämligen (x - y) och (-x + y).

Ja, förlåt. Bilden ger en extremt bra förklaring. men kolla z = a + bi a byter aldrig tecken det är bara värdet i Imaginära axeln ju

MattePapput skrev :
Yngve skrev :
MattePapput skrev :
Min lärare visade på ett annorlunda sätt. Titta här
Konjugatet är det motsatta y värdet, i kordinatsystemet. Ja nu är det inte ett xy kordinatsystem men det är samma princip även där.
Det är ingen skillnad mot vad jag har skrivit. Se denna kommentar om komplexa tal och deras (komplex)konjugat.
Ett komplext tal a + bi har alltså ett entydigt komplexkonjugat, nämligen a - bi.
Ett reellt binom (x + y) har däremot flera konjugat, nämligen (x - y) och (-x + y).
Ja, förlåt. Bilden ger en extremt bra förklaring. men kolla z = a + bi a byter aldrig tecken det är bara värdet i Imaginära axeln ju

Ja, och Yngve har aldrig påstått något annat. Läs igenom ordentligt.

Svara Avbryt

Visa senaste svar