Konstig (felaktig?) formulering angående konvergenskriterium från föreläsare

Notera att satsen påstår att konvergens av den ena serien är ekvivalent med konvergens existensen av den andra konvergenta serien.

Satsen (som den är formulerad) säger inte att $\sum a_k \le \sum b_k$.

Jag skulle nog gissa att han menade att ett ändligt antal termer i början av serien är oväsentligt när det gäller seriernas konvergens:

Den positiva serien $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty a_k$ (OBS: k startar vid 1) är konvergent omm det finns ett heltal $p \ge 1$ och en konvergent positiv serie $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty b_k$ (OBS: k startar vid 1) sådan att $a_k \le b_k$ gäller för alla $k \ge p$.

Med denna formulering gäller verkligen ekvivalens för konvergensen av serierna med startvärdet $k=1$.

Det är dessutom sant att $\displaystyle \sum_{k=p}^\infty a_k \le \sum_{k=p}^\infty b_k$ (OBS: k startar vid p).

Däremot stämmer det inte att $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k \le \sum_{k=1}^\infty b_k$ (OBS: k startar vid 1)

Vad det handlar om är att serien kan delas upp:

$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k = \underbrace{\sum_{k=1}^{p-1} a_k}_{\text{ändligt värde oavsett}} + \sum_{k=p}^\infty a_k \le \sum_{k=1}^{p-1} a_k + \sum_{k=p}^\infty b_k$

Jag misstänker att jag har missförstått något här. Låt säga att vi vill undersöka huruvida serien $S$ nedan konvergerar:

$\displaystyle S:=\sum_{k=2}^{\infty}a_k=\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k\ln k}$

Nu hittar jag på en ny följd som definieras av:

$\displaystyle b_k := \frac{1}{k(\ln k)^2}+2$

Det gäller för alla $k\ge 2$ att $a_k \le b_k$. Dessutom gäller det att:

$\displaystyle \sum_{k=2}^{\infty}b_k=\sum_{k=2}^{\infty}\left(\frac{1}{k(\ln k)^2}+2\right)\;\le \int\limits_{2}^{\infty}\left(\frac{1}{x(\ln x)^2}+2\right)\mathrm{d}x<\infty$

Vi har alltså:

• Hittat en serie $b_k$ sådan att $a_k \le b_k$ för alla $k\ge 2$
• Visat enligt integralkriteriet att $\sum_{k=2}^{\infty}b_k$ är konvergent

Ska inte detta räcka för att visa konvergens för $\sum_{k=2}^{\infty}a_k$? Det är omöjligt i alla fall eftersom den serien divergerar. Så uppenbarligen har jag gjort något fel här...

naytte skrev:

$\displaystyle \sum_{k=2}^{\infty}b_k=\sum_{k=2}^{\infty}\left(\frac{1}{k(\ln k)^2}+2\right)\;\le \int_{2}^{\infty}\left(\frac{1}{x(\ln x)^2}+2\right)\mathrm{d}x<\infty$

Den sista olikheten ovan gäller ej:

$\displaystyle \int_2^\infty \left(\frac{1}{x(\ln x)^2}+2\right)\,{d}x = [ \frac{-1}{\ln x} + 2x]_2^\infty = 0 + \infty + \frac{1}{\ln 2} - 4 = \infty$

Jag räknade inte ut det för hand utan slog det på Wolfram:

Ska testa och räkna för hand. Kan ju såklart hända att Wolfram har fel. Har hänt tidigare i vissa specialfall.

naytte skrev:

Jag räknade inte ut det för hand utan slog det på Wolfram:

Ska testa och räkna för hand.

Visst, fast det är inte logaritmen som orsakar problem. Det är "+2" innanför integralen som orsakar divergens av integralen

Attans, vad dumt av mig! Självklart är det ju så...

Men jag tror jag är med nu. Ett nytt försök att formulera satsen i egna ord:

Låt för någon följd $a_k$:

$S := \sum_{k=p}^{\infty}a_k$

$S$ konvergerar om och endast om det existerar en följd $b_k$ och ett $p$ sådant att $a_n \le b_n$ för alla $n\ge p$ och serien av $b_k$ konvergerar. Det gäller INTE nödvändigtvis att:

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k\le\sum_{k=1}^{\infty}b_k$

MEN det gäller givetvis att:

$\displaystyle \sum_{k=p}^{\infty}a_k\le\sum_{k=p}^{\infty}b_k$

och detta räcker eftersom varje summa som börjar på $k=1$ kan delas upp vid $k=p$ och om $\sum_{k=1}^{\infty}b_k<\infty$ måste givetvis också $\sum_{k=p}^{\infty}a_k<\infty$ och då vet vi att $\sum_{k=1}^{\infty}a_k$ konvergerar eftersom:

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k = \sum_{k=1}^{p-1}a_k+\underbrace{\sum_{k=p}^{\infty}a_k}_{< \infty}$

Tillägg: 15 maj 2025 19:14

(Lite slarvigt uttryckt)

Kan inte en serie a_k konvergera utan att det finns någon dominerande serie? Jag skulle stryka ” endast om”.

Om serien $\sum a_k$ är konvergent, så kan man välja $b_k=a_k$ som en konvergent majorant.

(Eller $b_k = a_k + k^{-2}$ om man av någon anledning vill få sträng olikhet $b_k > a_k$ för alla $k$).

Det gäller alltså verkligen ekvivalens, men jag medger gärna att det faktiskt är något ovanlig formulering.

Ja, och det är ju ”om”-satsen som utgör själva verktyget.