Kontinuerliga funktioner

En funktion $f$ säges vara kontinuerlig i en punkt $x=a$ om och endast om

$\displaystyle \lim_{x\to a} f\left(x\right) = f\left(a\right)$

Om detta gäller för alla $a$ i definitionsmängden till $f$ säges funktionen vara kontinuerlig.

Blev tvungen att titta efter själv för att komma underfund med vad som menas eftersom jag spontant skulle kalla g(x) diskontinuerlig. Matteboken.se säger dock att jag hade fel:

Som vi sett i tidigare avsnitt är kanske inte lika självklara om de är kontinuerliga eller inte. Om vi tittar på den klassiska funktionen 𝑓⁡(𝑥) =1/𝑥 

Vi ser att det inte går att rita upp grafen ”utan att lyfta pennan” och den är inte helt sammanhängande runt 𝑥 =0, men ändå är rationella funktioner kontinuerliga! Detta eftersom x-värden, som funktionen inte är definierad för, inte finns med i definitionsmängden. Om vi fortsätter att titta på 𝑓⁡(𝑥) =1𝑥  så är 𝑥 =0 inte med i definitionsmängden och då är 𝑓⁡(𝑥) definierad och sammanhängande för sin definitionsmängd, därför är den kontinuerlig. Detta gäller för alla rationella funktioner att de är kontinuerliga. Vi kommer även att bekanta oss med diskreta funktioner.

Om jag jämför det med Eddler och citatet du tog från din lärobok så tror jag att jag hittat vad det är som man skall lägga vikt vid:

För att en funktion ska vara kontinuerlig på ett visst intervall krävs också att den är definierad på hela intervallet. Om vi ritar grafen till g(x)=(x²-4)/(x-2), ser vi att den liknar linjen y=x+2. Men som du ser av nämnaren är funktionen g inte definierad för x=2. Funktionen är därför diskontinuerlig. Att grafen ser ut att vara sammanhängande beror på att (x²-4)/(x-2) kan förkortas till (x+2). Grafen liknar därför linjen y=x+2. 

Om din lärobok pratar om att funktionen skulle vara definierad på ett helt intervall där x=2 ingick så kanske det var det de var ute efter. Annars tror jag att antingen så har din lärobok fel eller så har matteboken.se och Eddler fel.

Kontinuitet som begrepp är bara definierat då vi diskuterar definitionsmängden till funktionen. Därför är $h=h(x)$ kontinuerlig. $g=g(x)$ är inte diskontinuerlig i $x=2$, den är bara odefinierad där. Om den hade varit definierad för $x=2$ men haft $g(2)\ne 4$, då hade den varit diskontinuerlig där.

Jag förstår förvirringen och den beror nog på många saker:

1. Begreppet kontinuerlig används ofta/oftast slarvigt t.o.m. i matten.
2. På gymnasiet tenderar man att ställa frågorna bakvänt (spänna vagnen framför hästen), se Jasper Dengs svar på Quora https://share.google/dBeEUG1IQ5cu531YR
3. Det upplevs som hårklyveri åtminstone med gymnasiekunskaper men troligen långt efter det också. 

Det låter som att du har koll och jag tror inte att du behöver oroa dig för att det är förvirrande. 

Ett första villkor för att en funktion ska vara kontinuerlig på ett intervall är att den är definierad på hela intervallet. Det betyder att $g(x)$ inte är kontinuerlig på t.ex. intervallet $[1,5]$ (trots att $g(x)$ är kontinuerlig på hela sin definitionsmängd). Det betyder dock inte att den är diskontinuerlig, precis som naytte säger. Den har inga abrupta hopp i sin värdemängd. 

Exempel:

Här är $f_1(x)$ kontinuerlig (på sin definitionsmängd) men den är inte kontinuerlig på intervallet $[1,3]$ eftersom den inte är definierad överallt där. Den är inte diskontinuerlig.  $f_2(x)$ är kontinuerlig överallt och $f_3(x)$ är diskontinuerlig. 

D.v.s. det lutar åt att din lärobok har fel när den tycker att g(x) är diskontinuerlig. 

Jag snubblade nu över en video som kan vara kul att kolla på kanske? Lite relaterat iaf: https://youtu.be/WCWleoRW7N4?si=co7nS5GitC4VJFXn