18 svar
97 visningar
Arup 976
Postad: 10 jul 08:49

Kontinuitet

Jag förstår inte riktigt förståelsen av dessa begrepp 

Menar du de tre punkterna om kontinitet? I så fall, varför beskär du inte bilden så att vi slipper gissa?

Arup 976
Postad: 10 jul 09:03

Ja och ja

Yngve Online 39157 – Livehjälpare
Postad: 10 jul 09:09 Redigerad: 10 jul 09:59
  • Punkt 1 säger att om det går att rita en funktions graf utan att lyfta pennan så är funktionen kontinuerlig. Exempel: f(x) = x2
  • Punkt 2 säger att om det inte går att rita en funktions graf utan att lyfta pennan så är funktionen diskontinuerlig: Exempel f(x)=x2f(x)=x^2x1x\neq1, f(x)=0f(x)=0x=1x=1
  • Punkt 3 säger att om en funktions definitionsmängd endast består av vissa punkter så är funktionen diskret. Exempel: f(x) = antal mynt av varje valör i en myntsamling.

EDIT - ändrade riktning på implikationerna och bytte ut exemplet I punkt 2.

Arup 976
Postad: 10 jul 09:11

Yngve jag hänger inte riktigt med dig på den tredje punkten


Tillägg: 10 jul 2024 09:12

Eller vad menas med punktvis definerade, finns något exepel på en funktion som jag vet när jag skriver in y= nånting ?

Yngve Online 39157 – Livehjälpare
Postad: 10 jul 09:13 Redigerad: 10 jul 09:13

Säg att du har en myntsamling.

I den har du mynt av olika valörer, t.ex. 1, 2, 5 och 10 kronor.

Du kan nu ange en funktion som beskriver hur många mynt du har av varje sort.

Definitionsmängden består endast av talen 1, 2, 5 och 10.

Du kan ha en enkrona eller två enkronor, men du kan inte ha 1,5 eller 2,73 enkronor.

Arup skrev:

Tillägg: 10 jul 2024 09:12

Eller vad menas med punktvis definerade, finns något exepel på en funktion som jag vet när jag skriver in y= nånting ?

Ett bra exempel på en sådan diskret funktion hittar du här.

Arup 976
Postad: 10 jul 09:21

Tack, är det hör ett exempel på en diskret funktion (det blåa) ?

Nej, både f(x) och g(x) är icke-diskreta eftersom deras definitionsmängder inte endast består av vissa punkter.

Jag formulerade om mitt svar #4.

Problemet med bilderna i inlägg #9 är att den vänstra är kontinuerlig trots att den inte kan ritas med ett enda streck - det beror på att den punkt där den "hoppar" inte ingår i definitionsmängden. Med detta synsätt (som jag tror härskar på universiteten, men inte på gymnasiet) är även f(x) = 1/x en kontiunuerlig funktion, eftersom x = 0 inte ingår i definitionsmängden.

Yngve Online 39157 – Livehjälpare
Postad: 10 jul 10:01 Redigerad: 10 jul 10:24
Smaragdalena skrev:

[...[ är även f(x) = 1/x en kontiunuerlig funktion, eftersom x = 0 inte ingår i definitionsmängden.

Det stämmer. Jag har ändrat exemplet vid punkt 2 i svar #4.

Arup 976
Postad: 10 jul 12:01

Yngve jag tolkade #4 som om det vore en ordinarie linjär funktion

Arup skrev:

Yngve jag tolkade #4 som om det vore en ordinarie linjär funktion

I svar #4 försökte jag förklara de tre begreppen. Vad var det du tolkade som en linjär funktion?

Arup 976
Postad: 10 jul 12:29

punkt 3

Yngve Online 39157 – Livehjälpare
Postad: 10 jul 12:48 Redigerad: 10 jul 12:54

En linjär funktion kan generellt beskrivas som f(x) = kx+m, där k och m är konstanter.

I fallet med myntsmlingen (punkt 3) kan vi t.ex. ha

  • f(x) = 23 då x = 1, dvs vi har 23 st enkronor.
  • f(x) = 13 då x = 2, dvs vi har 13 st tvåkronor.
  • f(x) = 18 då x = 5, dvs vi har 18 st femkronor.
  • f(x) = 7 då x = 10, dvs vi har 7 st tiokronor.

Detta går inte att beskriva med hjälp av f(x) = kx+m.

Se bild, f(x) är inte en linjär funktion.

Här har jag ritat upp en kontinuerlig och en diskret funktion.

naytte 4221 – Moderator
Postad: 10 jul 15:16 Redigerad: 10 jul 15:19

Med detta synsätt (som jag tror härskar på universiteten, men inte på gymnasiet)

Detta är väl egentligen det enda synsättet som finns? I exemplet till vänster kan man säga att definitionsmängden är diskontinuerlig men att funktionen är kontinuerlig på hela sin definitionsmängd.

@Arup, det som följer nedan är överkurs:

Definitionen (och såvitt jag vet den enda?) för kontinuitet i metriska rum är ju:

Låt f:Df\displaystyle f:D_f\to\mathbb{R}. ff är kontinuerlig runt en punkt x=cx=c om och endast om det för alla ϵ>0\epsilon > 0, finns ett δ>0\delta > 0, sådana att |fx-fc|<ϵ\displaystyle |f\left(x\right)-f\left(c\right)|<\epsilon, när |x-c|<δ\displaystyle |x-c|<\delta och x,cDfx,c\in D_f.

och här är ju en förutsättning för kontinuitet i en punkt att cc ingår i definitionsmängden.

Svara Avbryt
Close