Konvergens/divergens

Antagandet är inte sant. x är ju positivt, så x^6 är positivt, 9/x^6 är positivt, och alltså är uttrycket under rottecknet större än 1, och därmed också hela nämnaren. Alltså är uttrycket mindre än 1.

Däremot så har du helt rätt i att det går mot 1, vilket är det viktiga. Då är det ju t.ex. större än 1/2 (för tillräckligt stora x), och 1/(2x) divergerar ju också.

Hej!

Eftersom $x^6+9 > x^6$ så följer det att

    $\frac{x^{1/2}}{(x^6+9)^{1/4}} < x^{1/2-6/4} = \frac{1}{x}$, när $x > 1$

vilket visar att

    $\int_{1}^\infty \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{9+x^6}}\,\text{d}x \leq \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x}\,\text{d}x$,

men detta hjälper inte till att avgöra frågan om konvergens; uppskattningen $x^6+9 > x^6$ är alltför grov.

Albiki

Hej! Tack för svar. Jag lyckades fixa denna uppgift nu. 

Jag har dock en annan fråga på en annan uppgift.

Om jag ska avgöra om följande integral konvergerar/divergerar så skriver jag först om den på följande sätt (generaliserad i två delar) ${\int }_2^{\infty }\frac{1}{x\sqrt{x^2-4}}dx ={\int }_{2+\epsilon }^c\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x\sqrt{x^2-4}}}dx + {\int }_c^{\infty }\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x\sqrt{x^2-4}}}dx$.

Jag kollar först ${\int }_c^{\infty }\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x\sqrt{x^2-4}}}dx$ och ser att $\frac{1}{x\sqrt{x^2-4}}= \frac{1}{x^2}* \frac{1}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{4}{x^2}}}}$ där sista faktorn i termen går mot ett då x går mot oändligheten, vilket medför att vi kan anta att $\frac{1}{x\sqrt{x^2-4}}= \frac{1}{x^2}* \frac{1}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{4}{x^2}}}} \le \frac{1}{2x^2}$där integralen av högerledet konvergerar. Det återstår då att studera ${\int }_{2+\epsilon }^c\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x\sqrt{x^2-4}}}dx$, jag tänker att det i intervallet (2,C) gäller att $\frac{1}{x\sqrt{x^2-4}}\le \frac{1}{\sqrt{x^2-4}}$ (Här behöver jag hjälp, det måste gå att göra någon bättre uppskattning?), jag känner igen högerledet i olikheten som en standardintegral och beräknar ${\int }_{2+\epsilon }^c\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \sqrt{x^2-4}}}dx = {{\left[\ln \left|x + \sqrt{x^2-4}\right|\right]}_{2+\epsilon }}^c = (efter insättning) ... \stackrel{\epsilon \stackrel{}{\to }0}{\to }ett tal, dvs konvergent$ 

Är detta hur man löser denna uppgift? Jag blir så osäker när det gäller dessa uppskattningar. Hur hade ni löst den?

Hej!

På intervallet (c,oo) är integralen uppåt begränsad av integralen

    Error converting from LaTeX to MathML; här väljer jag ett Error converting from LaTeX to MathMLx-2$$ alltid är större än 1. 

Denna integral är i sin tur uppåt begränsad av den konvergenta integralen

    $\int_{1}^\infty t^{-1.5}\,dt$. 

Efter detta gäller det att studera den ursprungliga integranden på intervallet $(2+u, c)$, där $0<u<1.$ På detta intervall är $u < x-2 < c-2$ och notera att $c-2 >1$. Om man till exempel väljer $u=0.25$ och $c=5$ så är $0.5 < \frac{1}{\sqrt{x-2}} < 2$. 

Albiki