Konvergent eller divergent integral

Här tänker jag att jag kan jämföra med e:

$\frac{1}{e} \leq e^{x} \leq e$

Det vet jag att det gäller i detta intervall även för x=0

Sedan kommer x+1 in i bilden.

Vad blir integralen av $\int_{- 1}^{1} \frac{1}{1 + x}$ , här gäller det att vara försiktig för en punkt är odefinerad.

Primitiv funktion blir: ln(x+1) som går mot -oändligheten. Men annars är strängt växande för intervallet (bortsett från -1)

Ny olikhet:

$\frac{1}{e (1 + x)} \leq \frac{e^{x}}{1 + x} \leq \frac{e}{x + 1}$

Eftersom vår sökta ekvation är inklämd borde den också divegera

Är det en okej motivering? :/

Innan din första dubbla olikhet skulle jag för tydlighets skull skriva t ex ”På intervallet [-1,1] gäller:”

Sen skulle jag ta epsilon>0 och titta på integralen från -1+epsilon till 1. Din uppskattning av integranden ser bra ut, men måste du ha både den vänstra och den högra olikheten? För att motivera divergens mot - oändl behöver du något som är större men som likväl går mot -oändl. Du behöver också visa din beräkning av integralen.

Tomten skrev:
Innan din första dubbla olikhet skulle jag för tydlighets skull skriva t ex ”På intervallet [-1,1] gäller:”

Sen skulle jag ta epsilon>0 och titta på integralen från -1+epsilon till 1. Din uppskattning av integranden ser bra ut, men måste du ha både den vänstra och den högra olikheten? För att motivera divergens mot - oändl behöver du något som är större men som likväl går mot -oändl. Du behöver också visa din beräkning av integralen.

Hmm, om jag försöker integrera denna med partiell integration får jag en oändlig loop:

$e^{x} {(x + 1)}^{- 1} - \int_{}^{} \frac{- e^{x}}{{(x + 2)}^{2}}$

Men du kanske menade att jag ska visa beräkningarna för endast e^x och 1/x+1?

Ja, uppskattningarna du gjort är ju till för att underlätta.-inte för att ställa till extra besvär. Du behöver inte integrera e^x/(x+1). Vilken fkn behöver du integrera?

Förresten: Är du säker på att det går mot - oändl? Jag tror att den går mot + oändl. Varför? Jo, integranden är positiv på intervallet (-1,1]. Det påverkar vilken av uppskattningarna du ska använda:

1/(e(1+x))<=e^x/(1+x) eller e^x/(1+x)<=e/(1+x)

Tomten skrev:
Ja, uppskattningarna du gjort är ju till för att underlätta.-inte för att ställa till extra besvär. Du behöver inte integrera e^x/(x+1). Vilken fkn behöver du integrera?

Jag antar att jag vill integrera både e^x och 1+x för de givna intervallen separat?

Notera att $\forall x\in(-1,1]$ :

$\displaystyle \frac{e^x}{x+1} \le \frac{e}{x+1}$

Detta innebär att det måste gälla att:

$\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{e^x}{x+1}dx \le e\int_{-1}^{1} \frac{1}{x+1}dx$

Med risk för "likhet" om båda divergerar. Om den större integralen konvergerar, vad kan vi då säga om den mindre? :)

naytte skrev:
Notera att $\forall x\in(-1,1]$ :

$\displaystyle \frac{e^x}{x+1} \le \frac{e}{x+1}$

Detta innebär att det måste gälla att:

$\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{e^x}{x+1}dx \le e\int_{-1}^{1} \frac{1}{x+1}dx$

Med risk för "likhet" om båda divergerar. Om den större integralen konvergerar, vad kan vi då säga om den mindre? :)

För att den ska divegerar så antar jag att den mindre måste divegera men det förstår jag inte riktigt, särskilt inte eftersom den inte går att integrera rakt av :(

Om ”Den Mindre” divergerar, dvs går mot +oändl, så måste också ”Den Större” också göra det. Den mindre, dvs 1/(e•(1+x)) låter sig lätt integreras och den går mot + oändl när epsilon—>0. Därav följer, att den större (som var svår att integrera) också går mot + oändl., dvs divergerar..

@Axiom,

jag insåg nyss att mitt förslag inte fungerar. Jag tänkte att den större integralen skulle vara konvergent och att man skulle kunna göra ett jämförelsebevis, men tydligen konvergerar inte den större integralen. Man måste alltså hitta något anant knep. Man måste nog visa, som Tomten är inne på, att en mindre integral divergerar istället.

Jag ursäktar för eventuell förvirring!

Svara

Visa senaste svar