Korrekt resonemang för konvergens av positiv serie?

Halloj!

Jag sitter med uppgiften nedan:

Avgör om summan nedan konvergerar eller divergerar:

$\displaystyle \sum_{k=3}^{\infty}\frac{1}{(2-k)^k}$

Definera:

$\displaystyle \frac{1}{(2-k)^k} =: a_k$ och $\displaystyle \frac{1}{k^2}=:b_k$

Eftersom både $a_k$ och $b_k$ är avtagande följder och $a_k$ avtar fortare än $b_k$ måste det finnas något $p$ sådant att $a_k \le b_k$ för alla $k \ge p$ . Vi har alltså:

$\displaystyle \sum_{k=p}^{\infty}a_k\le \sum_{k=p}^{\infty}b_k\le \int\limits_{p}^{\infty}b_x\mathrm{d}x <\infty$

Eftersom serien av $b_k$ alltså konvergerar enligt integralkriteriet måste även serien med $a_k$ konvergera.

Dessutom är den alternerande.

Just det… Tecknet byts… I min hjärna var det en positiv serie men det stämmer ju givetvis inte.

Hur ska man tänka då?

Jag tror din tankegång fungerar. Jag menade bara att det räcker att använda att termerna går mot 0 och växlar tecken. Då är serien konvergent.

Jag förstår inte varför min tankegång skulle fungera. Att jämföra serierna på det sättet jag ville går väl endast då $\sum a_k$ är en positiv serie?

naytte skrev:
Jag förstår inte varför min tankegång skulle fungera. Att jämföra serierna på det sättet jag ville går väl endast då $\sum a_k$ är en positiv serie?

Kanske tänker fel men,
Du kan väl låta

$\displaystyle a_k := \left|\frac{1}{(2-k)^k}\right|$

och ditt resonemang bör visa absolut konvergens, vilket medför konvergens?

Jag har aldrig sett den satsen tidigare men det kan säkert stämma.

Råkar du veta vad den heter? :)

Det var en sats i en bok jag läser. Där står det bara "Absolute Convergence Test". Ordagrant säger den:

"If the series $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$ converges, then $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converges as well"

Beviset i min bok använder triangelolikheten och Cauchy Criterion for Series (<-- mycket trevlig kriterium!!)

Tillägg: 18 maj 2025 00:00

Kan väl passa på att skriva beviset, det är ganska kort.

Cauchys kriterium säger att

$\sum_{n=1}^\infty a_n$ konvergerar är ekvivalent med att $\forall \epsilon > 0$ , $\exists N \in \mathbb N$ sådana att för alla $m,n > N$ så är

$|a_n + a_{n+1} + \dots + a_{n+m}| <\epsilon$

Om vi antar att

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left|a_n\right|$ konvergerar håller Cauchys kriterium. Alltså gäller det att

$||a_n| + |a_{n+1}| + \dots + |a_{n+m}|| < \epsilon$ (med alla krav på $\epsilon, m,n$ från tidigare)

Eftersom alla tal är positiva gör det yttre absolutbeloppet inget, så

$|a_n| + |a_{n+1}| + \dots + |a_{n+m}| < \epsilon$

Enligt triangelolikheten är

$|a_n + a_{n+1} + \dots + a_{n+m}| \leq |a_n| + |a_{n+1}| + \dots + |a_{n+m}| < \epsilon$

och eftersom Cauchys kriterium är en ekvivalens följer det att $\sum_{n=1}^\infty a_n$ konvergerar
$\square$

Denna serie är väl annars lite av ett typexempel för

https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Rotkriteriet

AlexMu skrev:
Det var en sats i en bok jag läser. Där står det bara "Absolute Convergence Test". Ordagrant säger den:

"If the series $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$ converges, then $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converges as well"

Beviset i min bok använder triangelolikheten och Cauchy Criterion for Series (<-- mycket trevlig kriterium!!)

Skulle du kunna skicka beviset här?

MrPotatohead skrev:
Denna serie är väl annars lite av ett typexempel för

https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Rotkriteriet

.

En annan nyttig sats! Tack! :D

naytte skrev:
AlexMu skrev:
Det var en sats i en bok jag läser. Där står det bara "Absolute Convergence Test". Ordagrant säger den:

"If the series $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$ converges, then $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converges as well"

Beviset i min bok använder triangelolikheten och Cauchy Criterion for Series (<-- mycket trevlig kriterium!!)

Skulle du kunna skicka beviset här?

Höll nog på att skriva medan du skickade detta. Se mitt tillägg!

Snyggt!

Cauchy the GOAT

naytte skrev:
Snyggt!

Cauchy the GOAT

Japp! Cauchy har så många fantastiska satser! (Har du kikat på satser inom komplex analys? Det finns så mycket trevligt där från Cauchy)

Har inte kollat någonting alls nästan på komplex analys men jag stötte på mycket av Cauchys grejer när jag skrev mitt GA, framför allt angående Cauchyföljder och banachrum. Cool snubbe!

naytte skrev:
Har inte kollat någonting alls nästan på komplex analys men jag stötte på mycket av Cauchys grejer när jag skrev mitt GA, framför allt angående Cauchyföljder och banachrum. Cool snubbe!

Då har du något att se fram emot! Det är ett intressant ämne!

Satser jag kan tänka på direkt därifrån är

"Cauchy's integral theorem"
"Cauchy's integral formula"
"Cauchy's residue theorem"

Det finns säkert några fler!

Har en kurs i komplex analys till hösten. I princip 0 % på mitt program klarade av kursen förra året. :D

naytte skrev:
Har en kurs i komplex analys till hösten. I princip 0 % på mitt program klarade av kursen förra året. :D

Oj då. Lycka till !!

Svara

Visa senaste svar