Kurvors rotationssymmetrier - J. Månsson; kap. 2

Halloj!

Jag har nyligen börjat plugga flervariabelanalys och har kommit in på ytor och kurvor i rummet. På s. 33 i Månssons Flerdimensionell analys står det parafraserat att alla kurvor som kan skrivas på formen $z := f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$ , där $f$ är en funktion i en variabel, kommer uppvisa rotationssymmetri kring $z$ -axeln. Jag har två frågor:

1) Månsson skriver att $f$ är en funktion av en variabel, men här har vi väl två variabler, $x$ och $y$ ? Eller tänker man att funktionen ska ha ett argument, för det verkar ju som en lite annan sak.

2) Hur kommer det sig att man kan garantera rotationssymmetri i detta fall? Är det för att alla punkter med samma avstånd till $z$ -axeln kommer ligga på en "cirkel", så hela kurvan kan tänkas byggas upp av "nivåer av cirklar"?

z är en funktion av 2 variabler, men f(u) är en funktion av 1 variabel och har, som du skriver, 1 argument/inparameter

Rätt, "cirkelskivorna" med centrum (0,0,z)=(0,0,f(r)), med radien r=sqrt(x^2+y^2), kommer att ligga på z-nivån f(r)

Angående punkt 1:

$u=u(x,y)$ i vårt fall är ju inte en oberoende variabel, utan beror ju i sin tur av $x$ och $y$ . Kan man då verkligen säga att $f$ endast beror av en variabel?

Detta är såklart bara en petitess.

Det är en sammansatt funktion.

g: R² -> R, (x, y) $\mapsto$ $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

f: R -> R, x $\mapsto$ f(x).

z: R² -> R, (x, y) $\mapsto$ ( $f \circ g$ )(x, y) = f(g(x, y)) = f( $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ ).

Svara

Visa senaste svar