Kvadratkompletering

Per definition ger kvadratroten endast positiva tal (eller noll).

Det är inte sant att $\sqrt{\left(4 - \frac92\right)^2} = 4 - \dfrac{9}{2} = -\dfrac{1}{2}$ då rotuttrycket i VL är positivt, medan talet i HL är negativt. Ett positivt tal är inte lika med ett negativt tal.

Däremot gäller att $\sqrt{\left(4 - \frac92\right)^2} = \sqrt{\left(- \frac12\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4}} =  \dfrac{1}{2}$.

I allmänhet är nämligen $\sqrt{A^2} = |A|$. I det här fallet blir alltså

$\sqrt{\left(4 - \frac92\right)^2} = \left| 4 - \dfrac92 \right| = \dfrac92 - 4 = \dfrac12$

Om det är svårt att hänga med i LuMa07:s alldeles utmärkta förklaring så kan man lite slappt säga att "det försvinner information" när man kvadrerar. 

Om man t.ex. vet att kvadraten på något är 9 så vet man inte vad det där något var från början. Kanske var det 3, kanske -3. Att kvadraten på något är lika med kvadraten på något annat (a² = b²) som i den här uppgiften, betyder alltså inte att de 2 sakerna som kvadrerades är lika (a = b). Men det är precis det som man påstår när man stryker 2:orna, d.v.s. man ljuger/far med osanning. Det funkar inte bra i matematiken, inte annars heller, kanske 😀

Men hur ska man tänka i liknande fall? Ska man aldrig stryka på det sättet Enya gjorde och alltid först räkna ut värdet under rottecknet och sedan ta kvadratroten ur det? 

Vad innebär $\sqrt{A^2} =\left|A\right|$?

Det är själva "ta kvadratroten ur" som är  lurigt. Att "ta kvadratroten ur" ger alltid det positiva värdet, men ibland är man också intresserad av det negativa värdet.

I det här fallet ser man att kvadratroten ur 1/4 är 1/2, men 1/4 har vi fått genom att kvadrera någonting. Detta "någonting " kan vara antingen 1/2 eller-1/2.

Det kallas absolutbelopp, och kommer tydligen i Matte 3: https://www.matteboken.se/lektioner/gymnasiet/matte-fortsattning-niva-1/algebraiska-uttryck/absolutbelopp#!/

Tack för all imput! 

Jag är dock fortfarande lite osäker på om vad som gäller med kvadratroten och när det ger ett negativt tal etc.

Kvadratroten ger aldrig ett negativt tal.

Det här är två helt olika frågor:

• "Vilket tal blir 9 när man kvadrerar det?" Svaret är 3 och -3
• "Vad är kvadratroten ur 9?" Svaret är 3. 

Bubo skrev:

Det här är två helt olika frågor:

• "Vilket tal blir 9 när man kvadrerar det?" Svaret är 3 och -3
• "Vad är kvadratroten ur 9?" Svaret är 3. 

Jo, det är klart att det är olika saker! Hur urskiljer man dem matematiskt sett?

Vad menar du med "matematiskt sett"?

Kvadratroten är definierad så att den endast ger positiva tal. Den ger aldrig negativa tal. När du löser en andragradsekvation tar du däremot $\pm \sqrt{}$ vilket tar med den negativa roten också.

Tack för all hjälp! Nu förstår jag detta mycket bättre!