Kvantfysik - kvantmyntet

Jag tycker din föreläsares introduktion är ganska bra och illustrativ men man får alltid konceptuella problem om man gör analogier med makroskopiska objekt.

Om vi ska försöka bygga på analogin så kan vi säga att |H> och |T> är en fullständig beskrivning av tillståndet med avseende på mätning av myntets orientering när den har landat på ett bord. 

Med avseende på andra parametrar så kanske |H> |T>-uppdelningen beskriver andra parametrar men det beror på kontexten, både med avseende på vad som kan mätas och hur de fysikaliska omständigheterna (hamiltonianen) korrellerar eller avkorrellerar mätningarna.

Låt oss göra ett tankeexperiment och anta att myntet är ferromagnetiskt och kan vara magnetiserat antingen så att H-sidan är nordpol och T-sidan är sydpol, eller tvärtom. 

Scenarie 1: (magnetisering och orientering är korrellerade)

Låt oss säga att bordet myntet landar på är en permanentmagnet så att ytan sedd ovanifrån är nordpol. När myntet landar så kommer sidan som är uppår alltid att vara nordpol. I detta scenarie är magnetiserin och orientering samma och |H> och |T> innehåller all information om magnetisering.

Scenarie 2: (magnetisering och orientering är helt okorrellerade)

Antag nu istället att ett omagnetiserat mynt i sin färd genom luften innan den landat går genom ett starkt magnetfält som magnetiserar det i någon slumpmässig riktning innan det landar på bordet. I detta scenarie så är myntets magnetisering okorrelerad till orientering på bordet.

En uppdelning endast |H> och |T> är inte fullständig i meningen att de inte tar med alla möjliga tillstånd.

Ska vi uttöka modellen så skulle vi kunna beskriva fyra tillstånd baserat på om H/T-är uppåt eller nordsidan(N)/sydsidan(S) är uppåt. Bokstaven i tillståndvektorn är alltså vad som är uppåt på bordet.

|H,N>

|H,S>

|T,N>

|T,S>

Ett likformigt slumpmässigt tillstånd vore då

|ψ> =( |H,N> + |H,S> + |T,N> +|T,S>) /sqrt(4)

Detta skulle innehålla all information om de möjliga tillstånden med avseende på dessa två mätningar.

MEN, i ett scenarie då vi inte kan mäta magnetisering så är NS-delen av modellen egentligen irrelevant. I ett sådant fall kan vi dölja magnetiseringsinformationen inom HT-tillstånden genom definitionen

|H> =(|H,N> + |H,S>)/sqrt(2)

|T> = (|T,N> +|T,S>)/sqrt(2)

dvs låter H och T innehåller information om magnetisering men jag har valt att inte skriva ut dem explicit, kanske eftersom vårt experiment inte kan mäta magnetisering ändå.

|ψ> = ( |H,N> + |H,S> + |T,N> +|T,S>) /sqrt(4) = (|H> +|T>) /sqrt(2)

gäller fortfarande men magnetiseringen står inte längre utskriven i symbolen.

Vad jag gjort här är att försöka använda kvantmekanisk notation för klassisk sannolikhet vilket ignorerar allt de intressanta i kvantmekaniken men är en exercis i alla fall.

edit: bytt 4 till 2

Hej, tack för svar. Jag har en konceptuell fråga om detta.

Låt säga att vi singlar slant och mäter t.ex. ett tillstånd |H>, vilket betyder att myntet visar krona, och låt säga att t.ex. magnetiskt moment är en storhet som är inkompatibel med storheten "vad myntet visar" (så att deras operatorer inte delar några egentillstånd). Då kan vi inte veta vilket magnetiskt moment myntet har samtidigt som vi vet att den visar krona.

Min fråga är nu, har myntet ett magnetiskt moment om vi vet att tillståndet är |H>, bara att vi inte vet det, eller har det inget bestämt magnetiskt moment?

Bump

Alternativ 1: Du använder orden lite tokigt, eller är i alla fall inte så precis. Jämför med en situation där "en låda rör sig åt höger", respektive "en röd låda åker åt höger". Har lådan i den första situationen en färg? Jag tror inte formuleringen "inte delar några egentillstånd" är relevant här. Det vektorrum där lösningen söks är tensorprodukten av vektorrummen "vad myntet visar" och "magnetiskt moment".

Alternativ 2: Om du med "inte delar några egentillstånd" menar en situation likt "ha en väl definierad position" och "ha en väl definierad rörelsemängd" samtidigt så blir situationen väldigt krånglig, och kan "besvaras" på olika matematiska nivåer. Jämför med fouriertransformen av diracs deltafunktion (eller distribution om man är lagd så). I någon mening blir svaret på din fråga antingen "Nej" eller "Ja, alla". I ett diskret fall tror jag det per automatik blir alternativ 1.

Det är mycket möjligt att jag uttrycker mig slarvigt eller fel! Jag är förvirrad över hela formalismen just nu. Föreläsningarna går framåt snabbare än vad jag hinner ta åt mig dem, tror jag. Griffiths, som är vår kurslitteratur, gör mig tyvärr bara mer förvirrad.

Jag ska läsa på självständigt och återkomma. Kanske kommer det automatiskt besvara min fråga.

Jag tycker din fråga om bra-ket-notationen tyder på att du ändå kommit långt! Lycka till!

Jag har läst på ytterligare en del men jag är fortfarande inte helt säker på denna punkt.

Låt oss säga att vi mäter en observabel $A$ och att kvanttillståndet då kollapsar till $| A \rangle$ (egentillstånd till $\hat{A}$ enligt postulat). Det vi åtminstone vet med säkerhet är värdet på observablen $A$. Tillståndet $| A \rangle$ innehåller alla sannolikhetsamplituder vid mätningar av andra storheter, t.ex. $Q$. Men min fråga är, låt oss säga att $\hat{A}$ och $\hat{Q}$ inte kommuterar. Innebär det att systemet helt enkelt inte har ett bestämt värde på $Q$ om det är i tillståndet $| A \rangle$? Med andra ord: har systemet ett bestämt värde på $Q$ som råkar vara hemligt för oss, eller har det helt enkelt inget bestämt värde på $Q$?

Som jag förstått det är Q obestämt. Det är mätningar som påverkar kollapsen. Det har ingenting med vad vi ”vet” eller inte vet. Exempelvis kan jag mäta, glömma bort vad jag mätt men en ny mätning kommer ändå ge samma resultat med 100% säkerhet om den sker omedelbart efteråt.

Säg att vi mäter ett värde $Q$. Då kollapsar systemets tillstånd till ett egentillstånd $|Q\rangle$ av $\hat{Q}$ enligt postulat. Detta tillstånd är sådant att en omedelbar, ytterligare mätning av observabeln ger $Q$ igen. Men mätutrustningen påverkar ju systemet på ett icke-försumbart sätt. Så innebär $\mathbb{P}(Q)=1$ att systemet "har" värdet $Q$ på den observabeln, eller innebär det att mätutrustningen deterministikt "ger" systemet värdet $Q$ vid mätning om det är i egentillståndet $|Q\rangle$?

För att jämföra detta med ett makroskopiskt system: anta att vi har en adiabatisk skål med vatten och vi vill mäta temperaturen. Även om termometern vore helt perfekt (vi kan avläsa hur noggrant vi vill) så skulle varje avläsning vara "fel" eftersom termometern alltid tillför lite extra energi till vattnet. Så ingen temperatur vi avläser är faktiskt vattnets temperatur innan vi stoppade ned termometern, men vi kan ändå låtsas som om så vore fallet eftersom termometern påverkar vattnet på ett försumbart sätt.

Formuleringen "omedelbart efter" går att precisera. Tidsutvecklingen av systemet ges av Hamiltonianen. Om den inte innehåller termer som påverkar systemet kommer det befinna sig i det tillståndet för evigt (men förstås påvekas på andra sätt).

Exempelvis om du mäter vilket spin en partikel har så blir det endera av upp eller ned. Finns ingen växelverkan med något magnetfält eller liknande i Hamiltonianen så finns ingen förändring i tiden. 

Men påverkar du systemet genom att mäta spin i en annan riktning (dvs med en icke-kommuterande operator) så blir spinet i en linjärkombination av upp och ned igen. Detta är ju en underbart mystisk sak med kvantmekaniken. Det är inte fråga om att mätutrustningen påverkar i den mening att energi tillförs eller liknande, det är "att skaffa sig informationen" i sig som påverkar.

Men vad betyder det att "skaffa sig informationen"? Det måste väl innebära att man stör systemet med sin mätutrustning? Det har i alla fall vår föreläsare varit väldigt tydlig med.

Ja, det går inte att växelverka med ett system utan att växelverka med det så att säga. Det går alltså inte att mäta ett system utan att påverka det.

Men det är viktigt att skilja mellan att påverka systemets tillstånd och att påverka den storhet man mäter. En mätning kan till exempel lämna den uppmätta observabeln oförändrad men samtidigt förändra andra observabler som inte kommuterar med den.

En mätning ändrar alltså vanligtvis det kvantmekaniska tillståndet. Man säger att man ”kastar” in systemet i ett av systemets egentillstånd (egentillstånd till observabeln, eller, mer matematiskt, egenvektorer till den matris som representerar observabeln). Om systemet redan befinner sig i ett av egentillstånden, kvarstår systemet i det kollapsade egentillståndet (det finns undantag när två eller fler egenvektorer tillhör samma egenvärde).

Man har alltså lite nytta av sina kunskaper om egenvärden och egenvärdesrum, koordinatbyten etc från linjär algebra här.

Tack för svar!

Jag tror att min fråga kanske också ligger lite utanför vad formalismen kan besvara. Kvanttillståndet specificerar ju alla sannolikhetsamplituder till alla utfall till varje mätning, så formalismen ger oss sätt att beräkna sannolikheter för mätutfall. Min fråga kanske inte ens riktigt mejkar sense i kvantmekaniska sammanhang. Frågan är alltså, om sannolikheten att mäta värdet $q$ på observabeln $Q$ är $1$, innebär det att systemet har värdet $q$ på observabeln innan mätning, eller ger mätutrustningen det värdet till systemet på något deterministiskt sätt?

Det enda sättet att mäta $q$ med sannolikhet $1$ är ju om systemet är i egentillståndet $|q\rangle$ innan mätning, men detta kvanttillstånd säger väl också bara något om sannolikheter, inte om vad systemet "har" eller "inte har"?

Tillägg: 3 okt 2026 17:38

EDIT: jag hittade faktiskt något som verkar besvara min fråga. Tydligen finns det något som kallas för "the eigenstate-eigenvalue link" som säger att ett system har ett bestämt värde av en viss observabel om och endast om systemet befinner sig i ett egentillstånd till observabelns operator.

EDIT2:

Dirac skriver tydligen i fjärde utgåvan av The Principles of Quantum Mechanics på s. 30 att 

The expression that an observable ‘has a particular value’ for a particular state is permissible in quantum mechanics in the special case when a measurement of the observable is certain to lead to the particular value, so that the state is an eigenstate of the observable.... In the general case we cannot speak of an observable having a value for a particular state, but we can speak of its having an average value for the state. We can go further and speak of the probability of its having any specified value for the state, meaning the probability of this specific value being obtained when one makes a measurement of the observable.

Hur som helst kanske det inte spelar någon roll för formalismen hur man väljer att se på det? Om en fråga specificerar "partikeln har energi $E$" kanske det inte gör någon skillnad om man tolkar det som om den faktiskt "har" den energin, eller som om att en energimätning garanterat kommer att ge värdet $E$.

Däremot hade det varit konstigt att tänka på t.ex. position på något annat sätt än att t.ex. en partikel har en position.

 bump