Kvarter (Matematik/Matte 5/Kombinatorik)

Hur många kvarter åt öster behöver Pontus flytta sig? Hur många kvarter åt norr behöver Pontus flytta sig?

Om han t ex skall gå 3 kvarter åt öster och 2 kvarter norrut, så motsvarar frågan "På hur många olika sätt kan man ordna tre röda och två blå bollar på en rad?".

Du kan till exempel tänka så här:

Kortaste vägen är tre kvarter uppåt och fyra kvarter åt höger. Man kan skriva en vägbeskrivning med tre U och fyra H. UUUHHHH betyder rakt upp i tre kvarter och höger fyra kvarter. UHUHUHH betyder vartannat upp, vartannat höger och sist ett extra höger.

Hur många sådana ord kan man skriva?

Smaragdalena skrev:
Hur många kvarter åt öster behöver Pontus flytta sig? Hur många kvarter åt norr behöver Pontus flytta sig?
Om han t ex skall gå 3 kvarter åt öster och 2 kvarter norrut, så motsvarar frågan "På hur många olika sätt kan man ordna tre röda och två blå bollar på en rad?".

Det är säkert så, men jag ser faktiskt inte varför. (Frågeställaren kanske är klokare än jag.)

Smaragdalena skrev:
Hur många kvarter åt öster behöver Pontus flytta sig? Hur många kvarter åt norr behöver Pontus flytta sig?
Om han t ex skall gå 3 kvarter åt öster och 2 kvarter norrut, så motsvarar frågan "På hur många olika sätt kan man ordna tre röda och två blå bollar på en rad?".

4 åt öster och 3 åt norr som totalt blir 7 förflyttningar(den kortaste sträckan). Detta leder till $(\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix}) = 35$ (som det står i facit) men man kan ju välja ut 4 ur 7 förflyttningar som ska vara österut, eller? Alltså $(\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix}) = 35$

Laguna skrev:
Smaragdalena skrev:
Hur många kvarter åt öster behöver Pontus flytta sig? Hur många kvarter åt norr behöver Pontus flytta sig?
Om han t ex skall gå 3 kvarter åt öster och 2 kvarter norrut, så motsvarar frågan "På hur många olika sätt kan man ordna tre röda och två blå bollar på en rad?".
Det är säkert så, men jag ser faktiskt inte varför. (Frågeställaren kanske är klokare än jag.)

Tycker också att det är en intressant jämförelse...

SvanteR skrev:
Du kan till exempel tänka så här:
Kortaste vägen är tre kvarter uppåt och fyra kvarter åt höger. Man kan skriva en vägbeskrivning med tre U och fyra H. UUUHHHH betyder rakt upp i tre kvarter och höger fyra kvarter. UHUHUHH betyder vartannat upp, vartannat höger och sist ett extra höger.
Hur många sådana ord kan man skriva?

Antingen $(\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix})$ eller $(\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix})$

Marx skrev:
Laguna skrev:
Smaragdalena skrev:
Hur många kvarter åt öster behöver Pontus flytta sig? Hur många kvarter åt norr behöver Pontus flytta sig?
Om han t ex skall gå 3 kvarter åt öster och 2 kvarter norrut, så motsvarar frågan "På hur många olika sätt kan man ordna tre röda och två blå bollar på en rad?".
Det är säkert så, men jag ser faktiskt inte varför. (Frågeställaren kanske är klokare än jag.)
Tycker också att det är en intressant jämförelse...

Det blir väl för att bokstäverna står för om du går höger eller upp. Och kortaste vägen är om du rör dig 4 steg öster ut och 3 steg norr ut.

Sen hhhhuuu. Varje bokstav står för att du går upp eller höger.

Sen om du byter plats på två bokstäver så byter du ordning du går höger och uppåt. Så därför blir det analogt med att placera bollar med olika färger på led.

Om man kodar vägen som ett ord med tre U och fyra H så ser jag att det finns $(\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix})$ sätt att välja platser för U:na och då är saken klar, i det generella fallet också. Men hur man kan se direkt i bilden, utan kodning, att det blir det uttrycket, det ser jag inte.

Marx skrev:
SvanteR skrev:
Du kan till exempel tänka så här:
Kortaste vägen är tre kvarter uppåt och fyra kvarter åt höger. Man kan skriva en vägbeskrivning med tre U och fyra H. UUUHHHH betyder rakt upp i tre kvarter och höger fyra kvarter. UHUHUHH betyder vartannat upp, vartannat höger och sist ett extra höger.
Hur många sådana ord kan man skriva?
Antingen $(\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix})$ eller $(\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix})$

Ja precis, och det är samma . Det gäller alltid att $(\begin{matrix} n \\ p \end{matrix}) = (\begin{matrix} n \\ n - p \end{matrix})$

Laguna skrev:
Om man kodar vägen som ett ord med tre U och fyra H så ser jag att det finns $(\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix})$ sätt att välja platser för U:na och då är saken klar, i det generella fallet också. Men hur man kan se direkt i bilden, utan kodning, att det blir det uttrycket, det ser jag inte.

Jag såg det inte direkt i bilden, men när jag började tänka i termer av "formulera en vägbeskrivning" blev det klart. Det var det jag försökte förklara tidigare i tråden.