7 svar
196 visningar
K.Ivanovitj är nöjd med hjälpen
K.Ivanovitj 399
Postad: 2 feb 2018 18:51

längden av kurvan

Hej

jag behöver hjälp med lösningen till följande uppgift:

Beräkna längden av kurvan:

x=ty=lnnt+t2-1

där 2t7

derivatan av x blir ju 1

och derivatan av y blir väl 1t2-1

sedan integrerade jag 2712+1t2-12dt=271+1t2-1dt men sedan ser jag i facit att nästa steg ska vara att sätta 27tt2-1dt 

jag förstår inte var ettan framför divisionen försvinner.

Sedan ska man byta variabel och sätta s=t2-1 och får då 123481sds

där är jag med förutom hur man får 48 och 3 som nya gränser?

Albiki 5096
Postad: 2 feb 2018 19:08

Hej!

Pythagoras sats ger

    ds=(dx)2+(dy)2 \text{d}s = \sqrt{(\text{d}x)^2+(\text{d}y)^2}

och med parameteriseringarna x(t) x(t) och y(t) y(t) kan man skriva

    dx(t)=x'(t)dt \text{d}x(t) = x'(t)\text{d}t och dy(t)=y'(t)dt \text{d}y(t) = y'(t)\text{d}t

vilket ger

    ds(t)=(x'(t))2+(y'(t))2dt \text{d}s(t) = \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\,\text{d}t

och kurvans längd blir

    t=27ds(t)=t=27(x'(t))2+(y'(t))2dt . \int_{t=2}^{7}\text{d}s(t) = \int_{t=2}^{7}\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\,\text{d}t\ .

Med parameteriseringen x(t)=t x(t) = t och y(t)=ln(t+t2-1) y(t) = \ln (t+\sqrt{t^2-1}) får man derivatorna

    x'(t)=1 x'(t) = 1

och

    y'(t)=1t+t2-1·(1+tt2-1)=1t2-1 y'(t) = \frac{1}{t+\sqrt{t^2-1}} \cdot (1+\frac{t}{\sqrt{t^2-1}}) = \frac{1}{\sqrt{t^2-1}}

vilka ger kurvans längd

    t=27(x'(t))2+(y'(t))2dt=t=271+1t2-1dt=27tt2-1dt \int_{t=2}^{7}\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\,\text{d}t = \int_{t=2}^{7}\sqrt{1+\frac{1}{t^2-1}}\,\text{d}t = \int_{2}^{7}\frac{t}{\sqrt{t^2-1}}\,\text{d}t

eftersom

    1+1t2-1=t2-1+1t2-1=t2t2-1 . \sqrt{1+\frac{1}{t^2-1}} = \sqrt{\frac{t^2-1+1}{t^2-1}} = \sqrt{\frac{t^2}{t^2-1}}\ .

Albiki

K.Ivanovitj 399
Postad: 3 feb 2018 13:13

okej då är jag med på allt förutom hur dom får gränserna 48 och 3 efter att man bytt till variabeln s=t^2-1

woozah 1414
Postad: 3 feb 2018 13:19

Sätt in t=2 så får du att nya undre gränsen är 22-1=3 2^2-1=3 och att den övre är 72-1=48 7^2-1=48 .

K.Ivanovitj 399
Postad: 3 feb 2018 14:50

hur vet man att man ska sätt just t=2 och varför ska vi kvadrera och sedan subtrahera med 1? måste vara något jag missat när jag gjorde uppgiften.

mattekalle 223
Postad: 3 feb 2018 14:56

s=t2-1

ger med nedre gräns t=2 att s blir 3
och med  övre  gräns t=7 att s blir 48

Albiki 5096
Postad: 3 feb 2018 15:54

Hej!

För att beräkna integralen 27tt2-1dt \int_{2}^{7}\frac{t}{\sqrt{t^2-1}}\,\text{d}t noterar jag att derivatan

    dt2-1dt=tt2-1 \frac{d\sqrt{t^2-1}}{\text{d}t} = \frac{t}{\sqrt{t^2-1}}

vilket betyder att integralen kan skrivas

    t=27dt2-1=72-1-22-1=48-1 , \int_{t=2}^{7}\text{d}\sqrt{t^2-1} = \sqrt{7^2-1}-\sqrt{2^2-1} = \sqrt{48}-1\ ,

så att kurvans längd är lika med 43-1 . 4\sqrt{3}-1\ .

Albiki

Albiki 5096
Postad: 3 feb 2018 15:58

Hej!

Svaret ska förstås vara 72-1-22-1=48-3 \sqrt{7^2-1}-\sqrt{2^2-1} = \sqrt{48}-\sqrt{3} så att kurvans längd är lika med 33 ; 3\sqrt{3}\ ; Jag läste 22-1 \sqrt{2^2-1} som 2-1 . \sqrt{2-1}\ .

Albiki

Svara Avbryt
Close