Likformighet?

De är inte bara likformiga utan lika, dvs kongruenta.

Försök hitta likformiga trianglar för att kunna bilda y(x), dvs y som funktion av x

En bättre ansats är att den gråaste rätvinkliga triangeln i figuren och kalla vinkeln i nedre hörnet för a.

Då gäller $\sin a=\frac{x}{y}$

Dvs $y=\frac{x}{\sin a}$

Kan du se gränserna för x i denna tillämpning, dvs Definitionsområdet ?

Man kan testa praktiskt genom att vika ett A4-papper och upptäcker då att minsta värde på x=8 m, vilket ger oändligt stort y och att största värde på x=16 m, dvs  $8<x\le 16$

Vilka värden på vinkeln a motsvarar detta?
Särskilt intressant är värdet x=16 - vilken vinkel motsvarar det ?

Jo - svaret är 45 grader.

Så området för vinkel a är: $0°<a\le 45°$

Dvs $0<\sin a\le \frac{1}{\sqrt{2}}$
Men finns det ett min-värde för y i definitionsområdet?

Vi måste försöka uttrycka sin a i x för att få ett funktionsuttryck i enbart x.

Om vi betraktar den lilla rätvinkliga triangeln uppe i vänstra hörnet så är kateten till vänster (16-x) medan hypotenusan är x.
Efter lite utredande kan man få fram att vinkeln mellan dessa två sidor är 2a

Detta ger då: $\cos 2a=\frac{x-16}{x} ...\left(2\right)$

Men enligt formeln för dubbla vinkeln har vi då: $\cos 2a=1 - 2·{\sin }^{2}a$

Insatt i ekv (2) får vi nu: $1-2·{\sin }^{2}a=\frac{x-16}{x} ...\left(3\right)$

Efter bearbetning av detta uttryck fås: $\sin a=\sqrt{\frac{x-8}{x}} där vi förkastat den negativa roten, eftersom a>0$

Slutligen kan vi nu ersätta sin a i funktionen $y=\frac{x}{\sin a} ...\left(1\right)$

För att efter lite bråkräkning erhålla : $y=\sqrt{\frac{x^3}{x-8}}$

Min-punkten för denna funktion inom def.området kan tas fram med grafräknande enhet och får för x=12

Jobbigare men mer lärorikt är att derivera funktionen och ta fram min den vägen.

Säg till om du vill ha hjälp med det