Linjär algbra: två påståenden som inte är ekvivalenta fast jag tycker att de är ekvivalenta

Någon $n\times n$-matris sådan att $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ har minst två lösningar för varje kolonnvektor $\mathbf{b}$ finns inte. Den enda möjligheten för en matrisekvation $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ att ge fler än en lösning för någon vektor $\mathbf{b}$ är om värderummet till avbildningen $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ har lägre dimension än $n$ (d.v.s. rummet "trycks ihop" i och med avbildningen). Men detta måste samtidigt innebära att vissa vektorer $\mathbf{b}$ i $\mathbb{R}^n$, nämligen de som inte ligger i värderummet, gör att ekvationssystemet saknar lösning.

Din omformulering, "Det finns inget $\mathbf{b}$ sådant att $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ har exakt en lösning", är dock ett påstående som är ekvivalent med (1), eftersom det även innefattar möjligheten att ekvationssystemet saknar lösning.

Omformuleringen är helt rätt! Med andra ord: påståendet

Systemet $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ har oändligt många lösningar.

är ekvivalent med påståendet

För varje vektor $\mathbf{b}\in\mathbb{R}^n$ har systemet $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ antingen noll eller oändligt många lösningar.

Detta är i sin tur ekvivalent med att $\mathrm{det}(A)=0$ och att $\mathrm{rank}(A)<n$.

Geometriskt kan du tänka det som att multiplikation med $A$ leder till att $\mathbb{R}^n$ "kollapsar" ner till ett äkta underrum. Det betyder att den motsvarande linjära avbildningen är varken surjektiv eller injektiv.

Ett prototypiskt exempel på en sådan här matris skulle kunna vara

$A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

som (med avseende på standardbasen) motsvarar projektion rakt ner på $xy$-planet i $\mathbb{R}^3$.

Ja det var det jag insåg, jag behöver vara noggrannare när jag läser frågor

En övrig fråga jag har är varför någon bok/text över huvudtaget skriver "två eller fler" eller "fler än en" när man pratar om antal lösningar till linjära system? Det finns bara tre möjligheter: noll en och oändligt, kan de inte säga det då?! Jag blir helt galen

Att ett linjärt ekvationssystem över $\mathbb{R}$ (eller $\mathbb{C}$, eller vilken annan oändlig kropp som helst) alltid har noll, exakt en eller oändligt många lösningar är en viktig punchline i linjär algebra, så det låter dumt om din bok inte trycker ordentligt på det.

Men, med det sagt så finns det goda skäl att kanske ändå föredra formuleringen "fler än en", i alla om man vill göra teorin så generell som möjligt. Om man gör linjär algebra över en ändlig kropp $\mathbb{F}$ (t.ex. heltalen mod ett primtal) så makear ju "oändligt många lösningar" nämligen inte ens sense, i och med att antalet vektorer man har att välja på är begränsat (mer precist så gäller $|\mathbb{F}^n|=|\mathbb{F}|^n$).

Det korrekta formuleringen av ekvivalensen vi har diskuterat här i tråden blir då denna:

[$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ har fler än en lösningar] $\iff$ [det för varje $\mathbf{b}\in\mathbb{F}^n$ gäller att $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ har noll eller fler än en lösningar]. 

Haha, du gör som jag, skriver inlägget snabbt och uppdaterar den kontinuerligt några minuter efter.

Kroppen är något exotiskt F, och du menar att mängden vektorer är Fn?

I och med att det inte finns någon vettig förhandsgranskningsfunktion så kör jag (not-so-)blitz-editing i stället ;)

Men ja, det är precis vad jag menar! För vilken kropp $\mathbb{F}$ som helst kan vi bilda vektorrummet

   $\mathbb{F}^n=\{(a_1,\ldots,a_n):a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{F}\}$

(med komponentvis addition och skalning).

Om kroppen $\mathbb{F}$ är ändlig (t.ex. $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, för ett primtal $p$, som är en kropp med $p$ stycken element) så kommer även vektorrummet $\mathbb{F}^n$ att vara ändligt, och då makear det så klart ingen sense att tala om att ett system har oändligt många lösningar.

Linjär algebra över ändliga kroppar är väldigt centralt i gruppteori och olika former av diskret/tillämpad matematik (t.ex. i kodningsteori och kryptering), och jag har även sett det dyka upp i knutteori, men med det sagt så är det kanske ingenting man bör lägga jättemycket fokus på första gången man lär sig linjär algebra, och det mest pedagogiska om man skriver en introbok är nog att bara anta att man jobbar över $\mathbb{R}$ (och kanske ibland vidga perspektivet till $\mathbb{C}$) så att läsaren ostört kan bygga upp en visuell intuition. De justeringar som krävs för att få teorin att fungera även för ändliga kroppar är, när allt kommer omkring, rätt små, och går att göra vid behov senare. Men din bok är kanske satsigare än så och går för full generalitet, eller något? :P

oggih skrev:

Om kroppen $\mathbb{F}$ är ändlig (t.ex. $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, för ett primtal $p$, som är en kropp med $p$ stycken element) så kommer även vektorrummet $\mathbb{F}^n$ att vara ändligt, och då makear det så klart ingen sense att tala om att ett system har oändligt många lösningar.

Just ja

Linjär algebra över ändliga kroppar är väldigt centralt i gruppteori och olika former av diskret/tillämpad matematik (t.ex. i kodningsteori och kryptering), och jag har även sett det dyka upp i knutteori.

Aj, aj, du vet om min matematiska läggning. Jag fick mig en själslig allergisk reaktion där.

Men din bok är kanske satsigare än så och går för full generalitet, eller något? :P

Jag är inte så värst nöjd med den, så någon sån komplimang att jag antar det får den inte. Däremot så ska du få en komplimang för att ha berättat det!