5 svar
111 visningar
jans behöver inte mer hjälp
jans 28
Postad: 17 jan 2019 17:58 Redigerad: 17 jan 2019 18:11

Linjär Algebra

Hej! Sitter med en klurig uppgift som jag har jobbat med ett bra tag nu utan mycket framgång. Jag ska bestämma det(A-λI)=0 för

A =-1/25/2-15/2-1/2-1-1-13 

Jag har lyckats komma fram till -(λ3 - 2λ2 - 11λ + 12) = 0, men kommer pinsamt nog inte längre fram än så. Är tacksam för all hjälp! :) 

AlvinB 4014
Postad: 17 jan 2019 18:15

Om du börjar med att multiplicera båda led med -1-1 får du ekvationen:

λ3-2λ2-11λ+12=0\lambda^3-2\lambda^2-11\lambda+12=0

För att lösa denna blir du nog tvungen att försöka gissa en rot och sedan använda polynomdivision för att få reda på resterande egenvärden. Vanligtvis brukar man använda något som heter rationella rotsatsen för att hjälpa till att gissa rötterna, men en av rötterna är mycket enkel att gissa sig fram till i detta fall.

tomast80 4242
Postad: 17 jan 2019 18:16

Testa att se om du kan pröva dig fram till en rot:

0,±1,±20,\pm 1, \pm 2 o.s.v.

Därefter kan du skriva ekvationen på formen:

(λ-λ1)(λ2+aλ+b)=0

woozah 1414 – Fd. Medlem
Postad: 17 jan 2019 18:32 Redigerad: 17 jan 2019 18:35

Använd Laplace-expansion längs tredje kolonnen. Då får du att determinanten av din 3x3-matris ges av summan av:

 

-12.5-0.5-x-1-1=3+x 

-1-0.5-x2.5-1-1=3+x

(3-x)-0.5-x2.52.5-0.5-x=(3-x)(x2+x-6)=(3-x)(3+x)(x-2)

 

Nu kan du bryta ut 3+x3+x som gemensam faktor och du slipper gissa.

 

Jag använde bara att x=λx=\lambda, så ersätt alla xx med λ\lambda. Jag orkade inte hitta dessa i editorn.

 

Edit: Du får alltså att determinanten ges av summan; alltså (3+x)+(3+x)+(3+x)(3-x)(x-2)(3+x)+(3+x)+(3+x)(3-x)(x-2). Bryt ut 3+x3+x så får du lösa ekvationen (3+x)(2+(3-x)(x-2))=0(3+x)(2+(3-x)(x-2))=0, där en uppenbar rot är x=-3x=-3.(faktor)

jans 28
Postad: 17 jan 2019 18:49

Tack så mycket! Att jag inte tänkte på polynomdivision! 

woozah 1414 – Fd. Medlem
Postad: 17 jan 2019 18:52 Redigerad: 17 jan 2019 18:52
jans skrev:

Tack så mycket! Att jag inte tänkte på polynomdivision! 

 

Ett välmenat tips: Att inte använda Laplace-expansion fungerar bara om din lärare är väldigt snäll och ger dig heltal som rötter. Mina lektorer gav ofta kvadratrötter vilket är omöjligt att gissa, varför expansion oftast är att föredra då du kan försöka få ut gemensamma faktorer på samma sätt som ovan. Säg att alla rötter hade varit 3\sqrt{3}, 2\sqrt{2} och 5\sqrt{5}. Då hade inte gissning fungerat.

Svara
Close