7 svar
280 visningar
jans behöver inte mer hjälp
jans 28
Postad: 18 jan 2019 13:55

Linjär Algebra

Hejsan! Jag behöver hjälp med en uppgift som jag inte riktigt vet hur jag ska lösa. Själva uppgiften lyder:

 

Om den linjära avbildningen  F vet man att följande: (1,1,1) är en egenvektor med egenvärdet 2 och vektorerna (1,0,1) och (-1,0,1) är bilder av varandra.Bestäm samtliga egenvärden och egenvektorer till F. Bestäm sedan den matris som svarar mot den linjära avbildning F med hjälp av funna egenvärden och egenvektorer. 

 

Är tacksam för all hjälp! :) 

haraldfreij 1322
Postad: 18 jan 2019 15:22

Nyckeln till de två andra egenvektorerna/-värdena (de är inte fler än tre totalt, eftersom antalet egenvärden aldrig är fler än avbildningens dimension) är att du har två vektorer x och y med F(x)=y, F(y)=x. Kan du kombinera x och y på något sätt för att få fram en egenvektor (eller två)?

jans 28
Postad: 18 jan 2019 15:51

 Måste säga att jag tyvärr inte förstår vad du menar.. :( 

haraldfreij 1322
Postad: 18 jan 2019 16:04

Är du med på vad en egenvektor är?

Det står "vektorerna (1,0,1) och (-1,0,1) är bilder av varandra", dvs F((1,0,1))=(-1,0,1) och F((-1,0,1))=(1,0,1). Dessutom vet du att F((1,1,1))=2(1,1,1).

Nu vill du hitta de övriga egenvektorer till avbildningen F. Om du kallar de två vektorerna som är varandras avbilder för x och y så har du ekvationssystemet F(x)=y, F(y)=x. Eftersom F är en linjär avbildning kan du då också räkna ut bilden av linjärkombinationer av x och y. T.ex. är F(2x+y)=F(2x)+F(y)=2F(x)+F(y)=2y+x (detta är bara ett exempel, och inget du har stor nytta av). Kan du komma på något annat sätt att kombinera ihop x och y, så att du får en egenvektor? 

jans 28
Postad: 18 jan 2019 16:23

Jag har det lite kämpigt med egenvektorer, men om jag har förstått vad du menar (tveksamt) så är

F(e1 - e3) =-e1 + e3F(-e1 + e3) = e1 + e3 eller? Jag vet inte heller hur jag skulle gå vidare från detta. 

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 18 jan 2019 16:58

Hej!

  • Att vektorn v=(1,1,1)v=(1,1,1) är en egenvektor till avbildningen FF med tillhörande egenvärde 22 betyder att F(v)=2vF(v) = 2v.
  • Avbildningen FF tar vektorn u=(1,0,1)=(1,0,0)+(0,0,1)=e1+e3u=(1,0,1) = (1,0,0)+(0,0,1) = e_1+e_3 och kopplar ihop den med vektorn w=(-1,0,1)=(-1,0,0)+(0,0,1)=-e1+e3w=(-1,0,1) = (-1,0,0)+(0,0,1) = -e_1+e_3, det vill säga F(u)=wF(u)=w.
  • Avbildningen FF tar vektorn ww och kopplar ihop den med vektorn uu, det vill säga F(w)=uF(w) = u.

Avbildningen FF är linjär så det betyder att

    F(u)=F(e1+e3)=F(e1)+F(e3)=wF(u) = F(e_1+e_3) = F(e_1)+F(e_3) = w

och

    F(w)=F(-e1+e3)=-F(e1)+F(e3)=u.F(w) = F(-e_1+e_3) = -F(e_1)+F(e_3) = u.

  • Om du adderar vektorerna F(u)F(u) och F(w)F(w) så får du vektorn 2F(e3).2F(e_3).
  • Om du subtraherar vektorn F(w)F(w) från vektorn F(u)F(u) så får du vektorn 2F(e1).2F(e_1).

    w+u=F(u)+F(w)=2F(e3) och w-u=F(u)-F(w)=2F(e1).w+u = F(u)+F(w) = 2F(e_3) \text{ och } w-u=F(u)-F(w) = 2F(e_1).

jans 28
Postad: 18 jan 2019 17:57

Tack så mycket! Då förstår jag hur jag får fram egenvektorerna! :) Du gjorde det väldigt tydligt. Däremot undrar jag hur jag kan få fram avbildningsmatrisen nu? 

haraldfreij 1322
Postad: 21 jan 2019 09:00

Avbilningsmatrisens kolonner är alltid avbildningarna av basvektorerna. F(e1)F(e_1) och F(e3)F(e_3) har du redan räknat ut, och F(e2)F(e_2) kan du få fram genom att subtrahera bilden av övriga basvektorer från F((1,1,1))F((1,1,1)).

Svara
Close