13 svar
160 visningar
1PLUS2 är nöjd med hjälpen
1PLUS2 279
Postad: 19 feb 2020 11:08

Linjär algebra

Bestäm den punkt i planet genom punkterna 1,3,-1 , 1,1,0 , -1,3,2 som ligger närmast punkten D=-2,-2,-1.

 

Jag får fram ett plan av de förstnämnda (tre) punkterna, men sedan vet jag inte hur jag ska fortsätta.

- För det kortaste avståndet från tex en linje och en punkt kan man ta linjens riktningsvektor skalärt vektorn med startpunkt på linjen samt punkten. Men det verkar inte vara applicerbart i denna uppgiften då det gäller ett plan (som har två riktningsvektorer). 

Dr. G 6728
Postad: 19 feb 2020 12:32

Du kan utgå från punkten D och gå i normalens riktning till punkten 

P = D + n*t

För ett t-värde så kommer P att ligga i planet.

dr_lund 1213
Postad: 19 feb 2020 13:57 Redigerad: 19 feb 2020 14:06

Jag brukar använda ortogonal projektion:

sökta avståndet är s=|QD¯|s=| \overline{QD} | (blå vektor). Det kan uttryckas som

s=|PD¯ne|s=| \overline{PD}\bullet \mathbf{n}_e |  (vi projicerar magentafärgad vektor på normalen, P är en punkt i planet).

Notera: ne\mathbf{n}_e (röd vektor) är enhets-normalvektor. (Normera n\mathbf{n}).

dr_lund 1213
Postad: 19 feb 2020 15:21 Redigerad: 19 feb 2020 15:23

Notera att mitt senaste inlägg resonerar kring problemet ”avstånd punkt-plan”. 

Ditt specifika problem berör hur punkten Q ( i min figur) ska väljas. Där följer du Dr. G:s tips.

1PLUS2 279
Postad: 19 feb 2020 19:57

Hur vet jag att enhetsvektorn är ortogonal mot planet? De illustrerar detta i boken och då ska avståndet vara:d=ePD=Ax+By+Cz-D   då e=1alt:d=nPD=Ax+By+Cz-DA2+B2+C2

Men kör fast på enhetsvektor/ normalvektorn, hur får jag fram dess värden? 

dr_lund 1213
Postad: 20 feb 2020 08:04

Tidigare skrev du

” Jag får fram ett plan av de förstnämnda (tre) punkterna, men sedan vet jag inte hur jag ska fortsätta.”

Kan du presentera planets ekvation?

1PLUS2 279
Postad: 20 feb 2020 12:03

Sträckan värkar stämma enligt geogebra, men punkten Estämmer inte med facit, geogebra eller mitt svar.....

Svaret i facit är: E=1,-1,1

Dr. G 6728
Postad: 20 feb 2020 12:15

(1,1,0) ligger inte i planet 

x - y + 2z = -4

Utan att kontrollräkna fick jag en ekvation för planet till

3x + y + 2z = 4

1PLUS2 279
Postad: 20 feb 2020 14:06

Jag får fortfarande inte fram den sökta punkten, jag har nu Lx=-2+3ty=-2+1tz=-1+2toch sätter t=14   (avståndet från planet & den sökta punkten)

och får:

x=-2+314y=-2+14                z=-1+214

Vilket inte ger den sökta punkten....

Dr. G 6728
Postad: 20 feb 2020 14:12

D = (-2,-2,1)

Vi rör oss i normalens riktning (3,1,2) från D till P

P = D + n*t = (3t - 2, t - 2, 2t + 1)

P ska uppfylla planets ekvation

x + 3y + 2z = 4

ger t = 5/7

så 

P = (1/7, -9/7, 17/7)

1PLUS2 279
Postad: 20 feb 2020 14:35

Jag förstår fortfarande inte ditt resonemang, svaret ska bli 1,-1,1

dr_lund 1213
Postad: 20 feb 2020 14:45 Redigerad: 20 feb 2020 15:05

Avståndet s=14s=\sqrt{14} är korrekt.

Planets ekvation: Dr. G har rätt: 3x+y+2z-4=03x+y+2z-4=0.

Normalens ekvation:

Insättning i planets ekvation (skärningspunkt normal-plan) ger att t=1t=1 och den efterfrågade punkten Q (i min figur): Q:(1,-1,1)Q:(1, -1, 1), och efter kontroll:

vilket ger (mina beteckningar enl min figur): |QD¯|=14|\overline{QD}|=\sqrt{14}, som förväntat.

Dr. G 6728
Postad: 20 feb 2020 14:47 Redigerad: 20 feb 2020 14:48

Aha, jag trodde att D = (-2,-2,1), men ser nu att D = (-2,-2,-1).

Då kanske det blir lite snyggare värden...

1PLUS2 279
Postad: 20 feb 2020 15:09

Tack! 

Svara Avbryt
Close