Linjär Algebra

Hej, har svårt att förstå följande fråga:

" $F i n n s d e t e n b a s p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3} f ö r ℝ_{3} [t] d ä r i n g e t a v p o l y n o m e n h a r g r a d 2 ?$ "

Jag antar att $ℝ_{3} [t]$ = $a + b t + c t^{2} + d t^{3}$ , hur ska jag tolka detta? Är det en transformation från $ℝ^{4} - > ℝ$ ?

Är t en variabel så att transformationen sker från en vektor (a,b,c,d) som via t hamnar på reella tallinjen?

I så fall så är väl svaret ja på frågan så länge t får löpa fritt. Men samtidigt så tolkar jag det som att $ℝ_{3} [t]$ spänns upp av fyra vektorer (?) och i så fall är väl bildmängden i 4D?

Vi använder oss av Hase Carlssons kompendium: http://www.math.chalmers.se/~hasse/LinalgII.pdf

Slutligen, vår tidigare kurs bestod av David Lays bok Linear Algebra and its application och Hasse Carlssons första kompendium. Hade inga problem att hänga med i varken boken eller kompendiet men nu känns det nästan som att jag har missat en kurs. Har ni några lästips som fokuserar på definitionen vad som är ett vektor-rum och inte och hur polynom kommer in i bilden. Har bara hanterat polynom i analys förut och aldrig i linjär algebra.

Vänligen,

Tror du tänker för mycket på vad polynom brukar betyda. Du ska bara döpa axlarna till 1, x och x^2 istället för x, y och z, sen kan du räkna på med siffrorna precis som vanligt.

Tack för svaret! Aa okej då är ju svaret på frågan nej eftersom p_0 till p_3 bara spänner upp ett 3D - rum antar jag. Vi kan inte spänna upp ett rum med axlarna: 1, t, t^2 och t^3 utan axeln t^2, right?

Vidare, hur ska jag tolka dessa axlar? Ta axeln "1" till exempel, är det en axel med bara värdet 1 på eller är det bara ett namn på en axel som är vilken axel som står för hela reella tallinjen?

Ja precis, du behöver alla 4 någonstans. 1 är inte mer spännande än de andra, det är bara vad x^0 råkar bli. 2x kan ju skrivas som 2*x, och på samma sätt kan man skriva alla konstanter i ett polynom som k*1.

Aha okej, gäller detta då: Om (a,b,c,d) = (1,2,3,4) så är $ℝ_{3} [2]$ = 1+4+12+32 = 47?

Når jag positionen: (1,4,12,32)?

Positionen är (1,2,3,4). Om du vill stoppa in siffror har du inte 4 dimensioner längre. Det kan man göra när man är klar med att utnyttja linalgdelarna man antagligen ville åt.

p₀ = 1

p₁ = t

p₂ = t³ + t²

p₃ = t³

är linjärt oberoende och därför en bas för $ℝ$ ₃[t]. Inget av polynomen är av grad 2.

Tack båda för svaren! Bringar lite mer klarhet i alla fall :)

Svara Avbryt

Visa senaste svar