Linjär algebra/analys

bump

Som en fortsättning på serier så går det fint att beräkna exempelvis $e^\mathbf{A}$ där $\mathbf{A}$ är en inverterbar (blev lite osäker på om det är ett krav) matris genom att utgå från exponentialfunktionens potensserie. Användbart i exempelvis kvantmekanik

Hondel skrev:

Som en fortsättning på serier så går det fint att beräkna exempelvis $e^\mathbf{A}$ där $\mathbf{A}$ är en inverterbar (blev lite osäker på om det är ett krav) matris genom att utgå från exponentialfunktionens potensserie. Användbart i exempelvis kvantmekanik

Matrisen behöver inte vara inverterbar för att exponenten ska existera, däremot måste den vara det för att logaritmen ska existera.

Här är ett kul exempel:

Sats. Låt $n$ vara ett udda positivt heltal. Då kommer varje matris $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ att ha minst ett egenvärde
[dvs. det existerar ett $\lambda\in\mathbb{R}$ sådant att $A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$ för något $\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n\setminus\{\mathbf{0}\}$].

Bevis. Kom ihåg att de eventuella egenvärdena till $A$ precis utgör mängden nollställen till det karaktäristiska polynomet $p(\lambda)}=\det(\lambda I-A)$, så frågan är om det karaktäristiska polynomet har några (reella) nollställen.

Och visst har det det! Om vi funderar på vad som händer när vi utvecklar determinanten, så kommer är det relativt enkelt att konstatera att $p(\lambda)$ kommer att ha formen

   $\!\,{p(\lambda)}=\lambda^n+{\color{gray}\fbox{\text{lower degree terms}}}\,,$

dvs. vara ett polynom av grad $n$ i variabeln $\lambda$, och ett sådant uddagradspolynom har alltid minst ett nollställe.

Hur kan vi se det? Jo, om $|\lambda|\gg 0$ så kommer högstagradstermen att dominera, så att

    $\displaystyle\lim_{\lambda\to\infty}{p(\lambda)}=\lim_{\lambda\to\infty} \lambda^n=\infty$  och $\displaystyle\lim_{\lambda\to-\infty}{p(\lambda)}=\lim_{\lambda\to-\infty}\lambda^n=-\infty$

[notera att vi i det negativa gränsvärdet utnyttjar att $n$ är udda!]. Speciellt betyder detta att $p(\lambda)$ antar både positiva och negativa värden. Eftersom polynomfunktioner är kontinuerliga ger nu satsen om mellanliggande värden att $p(\lambda)$ har ett nollställe, vilket var vad vi ville visa!

Fortsättning:

Det vi gjorde ovan var att vi använde grundläggande analys och topologi för att visa att varje reellt uddagradspolynom har ett nollställe, och vi drog utifrån detta slutsatsen att varje matris $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ där $n$ är ett udda positivt heltal har minst ett (reellt) egenvärde.

Med ett resonemang som (åtminstone "moraliskt") är väldigt likartat kan vi övertyga oss om att varje icke-konstant polynom med komplexa koefficienter har ett nollställe! Detta är vad som brukar kallas för algebrans fundamentalsats (se weitz.de/fund för en pedagogisk förklaring, och lägg märke till att koncepten "dominerande termer" och "mellanliggande värden" dyker upp på nytt här, om än på ett lite mer komplicerat sätt). Och på precis motsvarande sätt som i förra inlägget kan detta användas för att visa att varje matris $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ (oavsett om $n$ är jämnt eller udda) har ett egenvärde - ett väldigt användbart resultat i linjär algebra.

Och vi kan gå ännu längre: upprepad användning av algebrans fundamentalsats säger att varje polynom av grad $n$ över de komplexa talen kan faktoriseras till $n$ stycken förstagradsfaktorer, och detta är hela grunden till något som kallas för Jordans normalform (kommer säkert dyka upp om du läser en fortsättningskurs i linjär algebra), som ger oss väldigt stor kontroll över hur matriser över $\mathbb{C}$ fungerar, och som i sin tur är grunden till många spännande och viktiga resultat, både i och utanför linjär algebra.

Oggih1: åhhh!!

Oggih2: åååååhhh!

Oggih3: ja, ja, ja!! Jordans normalform har jag bekantat mig med lite. Men kan du förklara relationen där lite närmare?

Hondel: jaha! Jag ska söka vilka andra exotiska operationer man kan göra med matriser.

Menar du hur Jordans normalform hänger ihop med algebrans huvudsats? I så fall är det nog enklast att du tar en titt på ett faktiskt bevis av satsen. En relativt lättläst variant finns på den här länken:

http://www.ctr.maths.lu.se/media11/MATM14/2011MATM14_vt11/jordan_.pdf.

Oj vad starkt detta, i efterhand, luktar funktionalanalys. Allt om oändligtdimensionella vektorrum hade passat som svar i denna tråd. 

Ett exempel är hur man definierar konvergens i oändligtdimensionella vektorrum.