Linjär Algebra, beräkna operatorn T^N via diagonalisering

Låt $ℙ_{2} = {a + b t + c t^{2}}$ vara rummet av alla andragradspolynom och låt T vara operatorn $(1 + t) \frac{d}{d t} p å ℙ_{2}$ beräkna T^N

Lösning: Låt S vara standardbasen för P_2: $S = {p_{0} = 1, p_{1} = t, p_{2} = t^{2}}$

Här antar jag att man kan välja vilken bas man vill egentligen men att standardbasen ligger nära till hands och är praktisk? Hur som helst så blir:

${[T]}_{S} = [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}]$ , med egenvärdena 0, 1 och 2 samt egenvektorerna: ${[e_{λ}]}_{S} : [e$ ₀]S = (1,0,0), [e₁]S = (1,1,0), [e2]S = (1,2,1). Det är egenvektorerna till T på basen S. Vill jag sen ha egenvektorerna till operatorn T, alltså ej på matrisform (och ej i $K^{3}$ utan i $ℙ_{2}$ ), så måste jag applicera dom på basen S och jag får då: ${e_{0}, e_{1}, e_{2}} = {1, 1 + t, 1 + 2 t + t^{2}}$

Vilket i sig blir en ny bas till $ℙ_{2}$ bestående av egenvektorer till T. Kallar basen B. Skriver sen T på matrisform i basen B, vilket såklart blir en diagonalmatris:

${[T]}_{B} = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}]$ och: $[T$ ^N]B = 000010002N

Jag tror jag fattat allt och tänkt rätt hittills.

Sen ska man enligt lösningen göra basbytet: ${[T^{N}]}_{S} = {[I]}_{S B} {[T^{N}]}_{B} {[I]}_{B S}$ och fattar att man kan göra det och hur den lösningen blir. Men jag tänker att jag borde kunna hålla mig till basen B som jag redan har och som är mycket enklare och helt enkelt beräkna $({(t + 1) \frac{d}{d t})}^{N} (a + b t + c t^{2})$ med:

$[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2^{N} \end{matrix}] [\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ b \\ c 2^{N} \end{matrix}]$ $\mapsto$ ${A p p l i c e r a d e s s a v i k t e r p å b a s e n B}$ $\mapsto$ $b (1 + t) + c 2^{N} (1 + 2 t + t^{2})$ = $(b + c 2^{N}) + (b + c 2^{N + 1}) t + c 2^{N} t^{2}$ , vilket är fel svar.

Rätt svar är när jag efter basbytet erhållit:

${[T^{N}]}_{S} = [\begin{matrix} 0 & 1 & 2^{N} - 2 \\ 0 & 1 & 2^{N + 1} - 2 \\ 0 & 0 & 2^{N} \end{matrix}]$

Och då tar: $[\begin{matrix} 0 & 1 & 2^{N} - 2 \\ 0 & 1 & 2^{N + 1} - 2 \\ 0 & 0 & 2^{N} \end{matrix}] [\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}] = [\begin{matrix} b + c (2^{N} - 2) \\ b + c (2^{N + 1} - 2) \\ c 2^{N} \end{matrix}] \mapsto {A p p l i c e r a r p å b a s e n S} \mapsto$

$= (b + c (2^{N} - 2)) + (b + c (2^{N + 1} - 2)) t + c 2^{N} t^{2} = ({(t + 1) \frac{d}{d t})}^{N} (a + b t + c t^{2})$

Jag fattar den officiella lösningen med basbytet och allt det där men jag förstår inte varför jag inte kan använda matrisen med basen B om jag sen tillämpar detta på basen B vilket jag gör. Svaret jag får är ju dessutom misstänkt likt så helt fel ute kan jag inte vara?

Det är väl inget magiskt med just det vi väljer att kalla standardbasen, jag borde ju kunna välja vilken bas jag vill så länge jag är konsekvent?

Tack på förhand.

Verkar vara någon bugg när jag postade, självklart ska $[T$ ^N]B = 000010002N , men det fattar ni nog redan. Ser även en del index som hoppat upp men det förstår ni nog med vad det egentligen ska stå

Edit: Får invalid markup när jag försöker publicera matrisen men eftersom det är potens till en diagonalmatris är ni med på vad den blir antar jag

Ren gissnig egentligen, men känns som att du borde skriva om a+bt+ct2 i andra basen då? Så vektorn och matrisen är i samma bas.

Hmm, ser inte direkt hur du menar men du kanske är rätt ute. Är det inte så dock att jag hämtar (a,b,c) från $K^{3}$ oavsett val av bas för $ℙ_{2}$ och att det därför inte borde ha med vektorn (a,b,c) att göra? Tänker du "andra basen" = B?

Jag tänker ju att enda anledningen till att vi blandar in basen S är för att skapa en matris till operatorn T som är lätt att hantera och extrahera egenvärden och egenvektorer från. I övrigt har den ingen roll och man skulle egentligen kunna hitta på vilken bas man vill för P_2 för att sen sätta T i matrisform i den basen och sen räkna ut egenvektorer. Det är bara det att S oftast är väldigt smidig. Är jag rätt på det med dom tankarna?

Isf så ser jag ingen direkt anledning till varför man vill hoppa tillbaka till S, speciellt inte när den blir så bökig som i detta fall.

För den som är intresserad så har jag nu upptäkt mitt misstag:

När jag gör operationen:

(*) : $[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2^{N} \end{matrix}] [\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}]$ så beräknar jag inte $({(t + 1) \frac{d}{d t})}^{N} (a + b t + c t^{2})$ , detta då $[a + b t + c t$ ²]B = a-b+cb-2cc och INTE $[\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}]$ . Därav tar jag fel vektor när jag multiplicerar med [T]_B och får då såklart helt fel resultat.

Då $[\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}] - > {a p p l i c e r a t p å b a s e n B} - > a + b + c + b t + 2 c t + c t^{2}$ , så är det jag beräknat vid (*) följande:

$({(t + 1) \frac{d}{d t})}^{N} (a + b + c + b t + 2 c t + c t^{2})$ vilket såklart är något annat såklart.

Fattar det dock som att allt annat är korrekt och man kan välja precis vilken bas man vill så länge man är konsekvent (vilket var det jag missade på). Och jag tänker att om man tycker det är en lättare uppgift att beräkna: [a+bt+ct^2]_B än att hålla på med basbytet som annars krävs så borde det inte finnas någon anledning att byta tillbaka till basen S.

Gissade jag rätt då? 🤪

Haha det gjorde du verkligen! Synd bara att det flög över huvudet på mig. Nu när poletten trillat ner så förstår jag ju din förklaring! ;)

Jag kan säga att jag inte förstod själv heller. Håller också på med linalg nu, men jag är ganska värdelös på det. Kul att följa dina inlägg, men synd att inte fler verkar svara.

Du är uppenbarligen bra nog att ge mig värdefull hjälp i alla fall ;)

Ja det känns som det är lite lägre aktivitet på PA nu än vad det brukar vara. Kul att du gillar dom, kursen kändes sjukt obekväm i början men börjar gilla den mer och mer. Lär bli en del fler inlägg nu när tentan börjar närma sig.

Lycka till med din linalg så hörs vi nog i framtida tråd!

Svara Avbryt

Visa senaste svar