Linjär algebra Col(A)

Det stämmer att man är intresserad av rummet som spänns av kolonnerna. Och tekniskt sett kan du svara med ett spann, men det lämnar en del arbete åt läsaren. Det anses artigare att ange en linjärt oberoende bas för rummet.

Eftersom kolonnerna bara har tre element måste underrummets dimension $\dim(\mathrm{Col}(A))\leq 3$

Du kan alltså plocka bort minst två överflödiga kolonner, kanske fler, dvs "rensa höljet".

Tänk på att en eventuell radreducering inte bevarar kolonnrummet. Du ska alltså välja ut några kolonner från den ursprungliga matrisen när du väl klurat ut en kombination av  kolonner som är linjärt oberoende.

Visa dina försök.

Okej,  tack så mycket! Jag har försökt och kom fram till att Col (A)= Span((1,1,-1), (3,2,1),(0,1,-1)) genom att gaussa matrisen och i de kolonner där jag fick pivot element 1 så tar man dom kolonnerna från ursprungliga matrisen och eftersom dom är pivot element betyder det att dom är linjärt oberoende. 

Ja

Kan man även lösa ut denna linjärt oberoende basen med hjälp av de fria variablerna? Alltså att vi gaussar A, sätter våra fria variabler v = s och w = t där s, t är reella tal, får ut ekvationssystemet

$\left\{\begin{array}{ll}\begin{array}{rcl}x& =& 3t\end{array}& \\ \begin{array}{rcl}y& =& \frac{5}{3}s -t\end{array}& \\ \begin{array}{rcl}z& =& \frac{8}{3}s-2t\end{array}& \\ \begin{array}{rcl}v& =& s\end{array}& \\ \begin{array}{rcl}w& =& t\end{array}& \end{array}\right.$

vilket ger oss de två riktningsvektorer v₁ och v₂ (de som normalt multipliceras med s och t). Kan basen då beskrivas som span = $\left\{v_1,v_2\right\}$? 

Hej copenQs,

Du har (nästan) räknat ut vilka vektorer $\mathbf{x}$ som uppfyller $A\mathbf{x}=0$ och det är ett annat rum man pratar ganska ofta om, vad heter det rummet? En ledtråd är att alla vektorer i det här rummet tydligen leder till resultatet 0 på höger sida.

Jag säger nästan eftersom det smugit sig in ett räknefel, $y=-\frac 13s-t$

Men frågan (åtminstone a)-uppgiften)  handlar inte om det rummet utan om värderummet, eller kolonnrummet till A.

Jroth skrev:

Hej copenQs,

Du har (nästan) räknat ut vilka vektorer $\mathbf{x}$ som uppfyller $A\mathbf{x}=0$ och det är ett annat rum man pratar ganska ofta om, vad heter det rummet? En ledtråd är att alla vektorer i det här rummet tydligen leder till resultatet 0 på höger sida.

Jag säger nästan eftersom det smugit sig in ett räknefel, $y=-\frac 13s-t$

Men frågan (åtminstone a)-uppgiften)  handlar inte om det rummet utan om värderummet, eller kolonnrummet till A.

Hej Jroth,

Tack för förtydligandet kring vad skillnaderna mellan dessa två rum är och när man ska använda de linjärt oberoende vs linjärt beroende kolonnerna. 

Jag antar att det måste vara nollrummet som jag beskrivit ovan (med hänsyn till räknefelet såklart), stämmer det?

Japp.

Nollrummet är $\{x\in\mathbb{R}^n\,:\,Ax=0\}$, vilket i det här fallet innebär

$x=s\begin{pmatrix}{0\\-\frac13\\\frac83\\1\\0}\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}{3\\-1\\-2\\0\\1}\end{pmatrix}$

I början är det lätt att blanda ihop värderum (kolonnrum), nollrum och lösningsmängd.

Tänk på att om $A$ är en $mxn$-matris så är nollrummet ett underrum till $\mathbb{R}^n$ och kolonnrummet ett underrum till $\mathbb{R}^m$.