Linjär algebra och geometri

Nu har vi kommit fram till detta, vad innebär det ?

Först kan man notera att ${\overrightarrow{u}}_1$, ${\overrightarrow{u}}_2$, ${\overrightarrow{u}}_3$ utgör en bas för ${\mathrm{ℝ}}^3$.

Det finns då en sats som säger att om $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ är vektorer i ${\mathrm{ℝ}}^3$ så finns det precis en linjär avbildning F sådan att F(${\overrightarrow{u}}_1$) = $\overrightarrow{a}$, F(${\overrightarrow{u}}_2$) = $\overrightarrow{b}$ och F(${\overrightarrow{u}}_3$) = $\overrightarrow{c}$. Dvs en linjär avbildning bestäms fullständigt av hur den avbildar en bas. Så i vårt fall är $\overrightarrow{a}$ och $\overrightarrow{c}$ givna, men vi kan fortfarande välja $\overrightarrow{b}$ godtyckligt. Varje val av $\overrightarrow{b}$ genererar en linjär avbildning - det finns således oändligt många sådana avbildningar.

Så för att få fram en avbildning, gör ett konkret val av $\overrightarrow{b}$ och bestäm tex avbildningens matris relativt u-basen. Använd sedan basbytesmatriser för att få fram avbildningens matris relativt standardbasen.

När det gäller b) så ser man att ${\overrightarrow{u}}_1$ och ${\overrightarrow{u}}_3$ ligger i det första planet. Ligger ${\overrightarrow{u}}_2$ och ${\overrightarrow{u}}_4$ i det andra planet?